§7. Линейные преобразования векторных пространств
1. Основное определение.
Ранее рассматривали функции, т.е. правила, по которым ставилось в соответствие число. Теперь обобщим это понятие.
Определение 1. Пусть – –мерному векторному пространству поставлен в соответствие (тому же пространству). Соответствие назовём преобразованием пространства .
Преобразование называется линейным, если
Примеры:
-
Пусть – подпространство в трехмерном пространстве . соответствующему поставим в соответствие его проекцию на : . Это линейное преобразование, свойства 1, 2 – легко проверяются.
-
Пусть – матрица , – пространство – чисел . . Это линейное преобразование.
-
– пространство многочленов степени . Пусть – т.е. производная многочлена. Линейность – очевидна.
-
, – линейность из свойств интеграла.
Это пример преобразования в бесконечномерном пространстве. Далее – лишь конечномерные.
2°. Матрица линейного преобразования.
Пусть – базис в и – линейное преобразование. Каждый . Векторы не зависят от и они могут быть разложены по базису : , т.е. если , где
. |
(1) |
Определение 2. Матрицей линейного преобразования в базисе называется матрица (1), столбцы которой – координаты образов векторов в базисе .
Утверждение 1. Выбор базиса в устанавливает взаимно однозначное соответствие между линейными преобразованиями этого пространства и квадратными матрицами порядка .
Доказательство: Итак, показано, что если выбран базис, то любому преобразованию соответствует матрица (1). В соответствии с примером 2 из пункта 1, любой матрице соответствует линейное преобразование. Осталось проверить, что разным матрицам соответствуют разные преобразования. Пусть и – разные преобразования, т.е. . Если они имеют одну и ту же матрицу , то для имеем: ,то противоречит.
При изменении базиса матрица линейного преобразования, вообще говоря, изменяется.
Примеры:
-
Пусть – трёхмерное пространство с базисом , а – оператор проектирования на плоскость . Тогда матрица .
-
Если – тождественное преобразование, то
-
– многочлены степени . .
Базис : .
Тогда .
Таким образом, матрица .
Рассмотрим формулы преобразования при переходе к другому базису. Пусть . Пусть .
Свойства.
1°. Ранг матрицы линейного оператора при переходе от одного базиса к другому является инвариантом.
2°. Определитель матрицы линейного оператора инвариантен.
Доказательство. Следует из свойств ранга и определителя.
3°. Сложение и умножение линейных преобразований.
Определение 3. Произведением линейных преобразований и называется .
Очевидно, что – линейное преобразование: .
Если – единичное преобразование, то .
Можно определить степени преобразований: .
Тогда .
Пусть в базисе преобразованию соответствует матрица , , . Выразим через и .
По определению
Далее , т.е. есть сумма произведений элементов –ой строки на –ый столбец – произведение матриц все свойства произведения матриц переносятся на преобразования (ассоциативность, не коммутативность).
Определение 4. Суммой преобразований и называется . Легко показать, что матрица
Операции сложения и умножения удовлетворяют обычным свойствам сложения и умножения матриц. Это следует из того, что между матрицами и преобразованиями есть взаимно однозначное соответствие. Нулевое преобразование – нулевая матрица.
Утверждение 2. Множество преобразований линейного пространства образует кольцо, называемое кольцом эндоморфизмов.
Определение 5. Произведением линейного преобразования на число называется преобразование .
Свойства: очевидны.
Утверждение 3. множество линейных преобразований образует линейное пространство размерности .
Следствие. Матрицы – линейно зависимы множеств степени