2. Параметры лазерного излучения

Для нахождения параметров лазерного излучения, формируемого резонатором с известной конфигурацией, удобно воспользоваться матричными методами расчета.

Действие оптической системы резонатора, заполненного активной средой с показателями преломления n (см. рис. 3), определяется оптическими силами Ф₁ и Ф₂ зеркал резонатора с радиусами R₁ и R₂ и приведенной оптической длиной резонатора

Рис. 3 б

За "полный проход" через резонатор исходный луч распространяется через пространство между зеркалами резонатора, отражается от одного зеркала, возвращается обратно и отражается от второго зеркала. Этот процесс описывается следующим образом [5]:

Откуда следует, выражения для матрицы действия оптического резонатора [4,6]

(7)

Элементы матрицы резонатора A_P, B_P, C_P, D_P определяют параметры формируемого резонатором излучения (см. таблицу 1). Кроме того, по значениям элементов A_P, D_P может быть найден тип резонатора: устойчивый либо неустойчивый. Неустойчивые резонаторы в приближении геометрической оптики формируют гомоцентрический пучок (сферическую волну) и преобразование такого излучения оптической системой трудности не представляет. К преобразованию же гауссовых пучков теория оптических систем непосредственно не может быть применена.

3. Преобразование гауссового пучка

1.3.1. Метод матричной оптики

Пусть гауссов пучок с параметром конфокальности z_K и радиусом сечения перетяжки r₀ преобразуется безаберрационной дифракционно неограниченной оптической системой, удаленной от сечения перетяжки пучка на расстояние -a, и имеющей светосилу Ф' (см. рис. 4). Требуется найти параметры z_K', r₀' и положение перетяжки преобразованного излучения.

Если в качестве опорных плоскостей ОП₁ и ОП₂ выбрать сечения перетяжки до и после преобразования, то матрица [M] преобразования оптической системы опишется как [4]:

(8)

Может быть показано, что комплексный параметр кривизны q(z) гауссового пучка, который по определению находится из выражения

(9)

преобразуется оптической системой с произвольной матрицей преобразования по закону [4]

(10)

Так как в качестве опорных плоскостей выбрали сечения перетяжки, для которых

то с учетом того, что

,

(см. таблицу 1) комплексный параметр кривизны, определяемый выражением (9), принимает значение

Соответственно,

1.3.2. Метод геометрической оптики

Для правильного применения методов геометрической оптики и к расчету преобразования оптической системы излучения произвольного типа нужно знать физическое обоснование, на котором базируется геометрическая оптика. Так как излучение имеет электромагнитную природу, то, следовательно, и обоснование должно вытекать из системы уравнений Максвелла или теории дифракции, не ней базирующейся.

В пределах гауссовой (параксиальной) оптики линза со светосилой Ф' может рассматриваться как фазовый транспарант.

В курсе "Физическая оптика" было показано, что поле в выходной плоскости ОП₃ подобно распределению поля во входной плоскости ОП₁, с коэффициентом подобия:

:

Это выражение позволяет исследовать свойства пучка, преобразованного линзой.

1. Радиус сечения преобразованного пучка r'(z) по уровню амплитуды 1/е можно найти, если учесть что для сопряженных плоскостей z(a) и z(a') (см. рис. 4) справедливо выражение r'(za')=r(za), где za'=za-a+a'

Учитывая соотношение между отрезками (-а), (а) и расстоянием (-а₀) от сечения претяжки до оптической системы

а также выражение (3) для преобразованного пучка может быть получено

(11)

2. Поскольку преобразованный пучок гауссов, то для него положение сечения перетяжки [как плоскости с минимальным значением r'(a')] определяется из условия ∂t(a')/∂a' = 0:

(12)

Выражения (11) и (12) можно записать в виде

; , где (13)

3. Угол расходимости преобразованного пучка можно найти, если учесть, что сечение преобразованного пучка находится в бесконечности, оптически сопряжено с передней фокальной плоскостью линзы:

(14)

Из (14) следует, что минимальная расходимость достигается при совпадении сечения перетяжки с фокальной плоскостью линзы. На основании (14) определяется параметр конфокальности преобразованного пучка

4. Использованная методика основана на подобии полей в сопряженных плоскостях и применении методов геометрической оптики. Следовательно, эта методика пригодна для анализа преобразования гауссова пучка и сложной (n -компонентной) оптической системы (см. рис. 5). Характеризуя сложную систему эквивалентной светосилой можно получить выражения для параметров преобразованного пучка, которые аналогичны соответствующим выражениям для одиночной линзы:

Рис. 5

; (15)

Из (15) следует инвариант преобразования гауссовых пучков

(16)

или

Инвариант (16) позволяет сократить число операций при анализе процесса последовательного распространения излучения через ряд оптических систем.