Общие уравнения и теоремы динамики жидкости

Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Л. Эйлера и И. С. Громеко. Интегралы уравнений Л. Эйлера (Лагранжа и Бернулли). Физический смысл величин, входящих в трехчлен Бернулли. Закон сохранения энергии. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной и реальной жидкости. Уравнение Бернулли для всего потока реальной жидкости и его истолкование. Понятие об уклонах. Общие понятия о потерях энергии при движении реальной жидкости. Явление кавитации. Разрушающее действие кавитации на омываемые поверхности и его предотвращение.

Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости Навье-Стокса.

Теорема об изменении количества движения и момента количества движения.

Приборы для измерения скорости и расхода жидкости: трубка Пито, Пито- Прандтля (ЦАГИ), диафрагма, труба Вентури, ротаметр, водослив, турбинные и крыльчатые расходомеры, гидропневмомотор.

Методические указания

Гидродинамика изучает движение жидкости и взаимодействие между жидкостью и твёрдыми телами при их относительном движении.

Гидродинамика идеальной (невязкой) жидкости была разработана Эйлером, который на основе анализа сил, действующих в такой жидкости на частицу, первым составил дифференциальные уравнения движения.

Распределение скоростей и давлений в идеальной жидкости описывается системой уравнений движения и неразрывности.

Интегрирование такой системы для элементарной струйки приводит к хорошо известному из курса гидравлики уравнению Бернулли.

Важно усвоить, что уравнения Эйлера являются исходными уравнениями для построения гидроаэромеханики и газовой динамики.

В 1881 г. И. С. Громеко преобразовал уравнения Эйлера, приведя их к виду более удобному для интегрирования и гидродинамического анализа. В уравнениях Громеко в явной форме содержатся ускорения частиц, угловые скорости их вращения и полная энергия единицы массы. Это уравнение для массовых сил, имеющих потенциал, в векторной форме можно записать так:

-grad (u+)= rot

Студент должен разобраться в случаях интегрирования уравнений Громеко, которые приводят к интегралам Лагранжа, Эйлера, Громеко, Бернулли. Следует подчеркнуть, что постоянная в интеграле Бернулли относится только к данной линии тока, а в других интегралах ко всему потоку.

Студент должен знать уравнение Бернулли для реальной (вязкой) жидкости, которое содержит четвертый член, учитывающий потери напора (энергии) при движении жидкости, состоящее из потерь по длине на прямолинейных участках и потерь в местных сопротивлениях. При решении задач вместе с уравнением Бернулли используется уравнение постоянства расхода. Из уравнения Бернулли следует, что при увеличении скорости движения жидкости в данном сечении потока давление падает и при давлении, равном давлению парообразования, происходит явление кавитации – процесс образования паровоздушных пузырьков в области пониженного давления и их захлопывание в области повышенного давления. При кавитации происходит кавитационная эрозия поверхности и другие вредные явления.

Уравнения движения идеальной жидкости находят очень широкое применение в гидроаэромеханике, однако они не могут быть использованы там, где нельзя пренебречь силами вязкости (например, в пограничном слое).

Особенностью вязких жидкостей является то, что в них поверхностные силы зависят от деформированного состояния (состояния движения). Напряженное состояние в любой точке вязкой жидкости характеризуется тремя нормальными и шестью касательными напряжениями, последние между собой попарно равны. Принимается, что напряжения, возникающие вследствие вязкости, пропорциональны скоростям деформации, а следовательно, и составляющим скорости.

Из нормальных напряжений выделяют давление, равное среднему арифметическому из них:

p=-(p_xx+p_yy+p_zz).

Если напряжения ввести в уравнения движения, то можно получить уравнения движения в напряжениях

(запись проекций на ось x).

Используя обобщенный закон трения (Стокса), связывающий напряжение со скоростями деформаций и вязкостью жидкости, получают уравнения движения вязкой жидкости в форме Навье-Стокса.

(для несжимаемой жидкости).

Применяя уравнения Навье-Стокса к решению конкретных задач, их дополняют краевыми условиями: временными и пространственными. Важным граничным условием является равенство нулю скорости на твердых границах потока. Студент должен знать и уметь формулировать краевые условия для различных условий вязкой жидкости.

Уравнения Эйлера, Навье-Стокса и Рейнольдса устанавливают связь между параметрами движущейся жидкости в каждой точке пространства, занятого жидкостью. Чтобы описать движение конечной массы жидкости, нужно получить решение этих уравнений, но это удается только для некоторых частных случаев. Между тем есть немало технических задач, в которых не требуется знать величины скоростей и давлений во всех точках жидкости, а достаточно определить некоторые интегральные величины, например силы воздействия потоков на ограничивающие обтекаемые поверхности или обтекаемые тела. Для решения таких задач эффективно применение интегральных форм уравнений количества движения и момента количества движения.

Широкое применение на практике находят приборы для измерения скорости и расхода жидкости. Студент должен знать эти приборы.

Литература [1, с.32-47]; [2, с.85-122, с. 148-151]; [3, с. 78-93];

[4, с. 66-124]; [5, с. 36-55, с. 65-69].

Вопросы для самопроверки

1. Какие законы механики используются при выводе уравнений движения Эйлера?

2. Как записываются уравнения движения Эйлера для установившегося движения жидкости?

3. В чем заключаются преобразование Громеки?

4. В каких случаях правая часть уравнений Громеки обращается в нуль?

5. Что называется интегралом Лагранжа?

6. В чем заключается геометрический и энергетический смысл уравнения Бернулли для потока реальной несжимаемой жидкости?

7. Что представляет собой явление кавитации, и какие существуют способы ослабления его вредного воздействия?

8. В чем особенность напряженного состояния вязкой жидкости?

9. Какие напряжения испытывает объем, выделенный в потоке вязкой жидкости?

10. Как записывается уравнение Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости?

11. Как записываются уравнения количества движения и момента количества движения в интегральной форме?

12. Что собой представляют конструктивно приборы для измерения скорости и расхода жидкости?

Гидравлические сопротивления при движении жидкости или газа в трубах

Общая классификация сопротивлений: местные сопротивления и сопротивление трения (по длине). Суммируемость гидравлических сопротивлений.

Местные сопротивления. Общая методика их учета. Коэффициент местного сопротивления и факторы, влияющие на его величину.

Сопротивление трения при равномерном движении жидкости. Основное уравнение равномерного движения жидкости. Гидравлический уклон потока и гидравлический радиус сечения.

Режимы движения жидкости. Опыты Рейнольдса. Ламинарный и турбулентный режимы. Число Рейнольдса. Верхняя и нижняя критические скорости.

Ламинарный режим движения жидкости. Закон распределения скоростей по сечению круглой трубы. Соотношение между максимальной и средней скоростями. Закон Пуазейля. Потери напора по длине трубы. Коэффициент сопротивления трения. Пограничный слой в ламинарном потоке и его формирование на разгонном участке.

Турбулентный поток и его структура. Пульсация продольной и поперечной скоростей. Осредненная местная скорость в турбулентном потоке. Поле скоростей в турбулентном потоке и формирование пограничного слоя. Ламинарный пограничный слой (пленка).

Поперечное перемещение частиц в турбулентном потоке и обмен количеством движения. Длина пути перемешивания. Компоненты силы трения в турбулентном потоке. Уравнение Рейнольдса для турбулентных потоков.

Потери напора по длине трубы при турбулентном режиме движения жидкости. Влияние шероховатости стенок трубы или канала. Абсолютная и относительная шероховатости. Понятие о гидравлически гладких и шероховатых поверхностях. Опыты И.И. Никурадзе. Режимы и зоны гидравлических сопротивлений. Эквивалентная шероховатость естественных труб.

Методические указания

В уравнении Бернулли, являющемся основным уравнением гидродинамики, входят гидравлические потери напора (та часть удельной механической энергии, которую жидкость теряет на преодолении сопротивлений на участке потока между сечениями 1 и 2; вследствие работы сил трения она превращается в тепловую энергию и рассеивается в окружающем пространстве). Гидравлические потери состоят из потерь по длине на трение h_l и потерь в местных сопротивлениях, т. е. .

Местные сопротивления представляют собой короткие участки трубопроводов, на которых и происходят изменения величины и направления скоростей потока, вызванные изменением размеров и форм сечения трубопровода, а также направления его продольной оси.

Местные гидравлические потери определяются по формуле Вейсбаха

или ,

где - коэффициент местного сопротивления; - средняя скорость в сечении, как правило, за местным сопротивлением.

Коэффициент при больших числах Рейнольдса зависит только от вида местного сопротивления. Однако при ламинарном течении он зависит не только от вида сопротивления, но и от числа Рейнольдса, распределения скоростей в граничных сечениях потока перед местным сопротивлением и за ним. В местных сопротивлениях, как правило, возникает турбулентное течение.

Простое суммирование потерь напора в местных сопротивлениях (так называется принцип наложения потерь) возможно, если они расположены друг от друга на расстоянии, не менее 20-30 диаметров трубы. В противном же случае сопротивления влияют друг на друга и работают как одна система, для которой необходимо определить свое значение коэффициента местного сопротивления экспериментальным путем.

Потери напора на трение по длине трубы при любом режиме движения жидкости определяются по формуле Дарси

или ,

где - коэффициент сопротивления трения;

l- длина расчетного участка трубы;

d- диаметр трубы;

- средняя скорость движения жидкости;

- плотность жидкости.

Основное уравнение равномерного движения жидкости вытекает из уравнения Бернулли и записывается для двух сечений в виде

или в другом виде (касательное напряжение на стенки трубы)

,

где R_Г – гидравлический радиус;

r – радиус трубы;

- гидравлический уклон.

Наблюдения показывают, что в природе существует три режима движения жидкости: ламинарный, переходный и турбулентный. Режимы движения изучал английский ученый Рейнольдс. Опыты Рейнольдса показали, что переход от ламинарного течения к турбулентному происходит при определенной скорости, так называемой нижней критической скорости, а при переходе от турбулентного режима к ламинарному – при верхней критической скорости. Критерием режима движения жидкости является число Рейнольдса

,

где – средняя скорость потока; d – диаметр трубы; и - динамический и кинематический коэффициенты вязкости жидкости.

Переходный режим движения является неустойчивым. В основном, режим движения жидкостей и газов турбулентный. Ламинарное движение возможно при движении вязких жидкостей и лишь в трубах малого диаметра (капилярах, малых зазорах).

В ламинарном потоке частицы жидкости движутся слоями с различными скоростями параллельно оси трубы без перемешивания. В таком потоке касательные напряжения подчиняются закону Ньютона. Используя общий закон распределения касательных напряжений и закон Ньютона, можно получить дифференциальное уравнение, из которого строго математически выводятся основные закономерности ламинарного движения: распределение скорости по живому сечению трубопровода; величины максимальной и средней скоростей; коэффициент Кориолиса ; закон сопротивления трения (формула Пуазейля); коэффициент сопротивления трения .

Теоретические результаты хорошо согласуются с опытом для потоков, в которых отсутствует теплообмен с окружающей средой, т. е. при изотермическом течении.

При ламинарном течении жидкости , где - число Рейнольдса, формула Дарси превращаются в формулу Пуазейля

.

Ламинарный режим движения происходит при Rе<2320.

Ламинарный режим движения с параболическим распределением скоростей по сечению потока устанавливается не сразу, а на некотором расстоянии от входа в трубу. На некотором участке, называемым начальным (разгонным), поток имеет ядро, где сохраняется равномерное распределение скоростей, и пристенный пограничный слой, где скорости распределяются неравномерно. Сечение ядра вниз по течению убывает, а толщина пограничного слоя возрастает. Потери напора на начальном участке строго не подчиняются формуле Пуазейля. Длина этого участка зависит от числа Рейнольдса и определяется по формуле Шиллера

,

которая хорошо согласуется с наблюдениями.

При турбулентном течении происходит пульсация скоростей, давлений и касательных напряжений. Мгновенное значение этих параметров определяется осредненным их значением и пульсационным составляющим.

Турбулентные пульсации проявляют себя как дополнительные нормальные и касательные напряжения. Полное касательное напряжение в турбулентном потоке состоит из вязкого и турбулентного касательных напряжений.

Для подсчета дополнительных касательных напряжений надо уметь подсчитать осредненные значения произведений пульсации скорости. Студент должен обратить внимание на то, что для этого надо ввести дополнительно гипотезы о механизме турбулентности. Такими гипотезами являются гипотеза о переносе количества движения и гипотеза переноса вихрей. Студент должен разобраться в гипотезе переноса количества движения, понять смысл термина «путь перемешивания».

В турбулентном потоке вместо поля мгновенных скоростей можно рассматривать поле осредненных их скоростей, тогда можно говорить об установившемся турбулентном движении.

По Прандтлю, в непосредственной близости от стенки имеется тонкая пленка, где турбулентное перемешивание полностью отсутствует и напряжение определяется из формулы Ньютона. Эта пленка называется ламинарным подслоем. В середине трубы находится ядро турбулентного течения, для которого Прандтль установил логарифмический закон распределения скоростей. Здесь можно не учитывать молекулярную вязкость в отличие от ламинарного подслоя. Карман вводит между ними еще промежуточный слой (обе вязкости одного порядка). Каждой из этих областей отвечают свои законы распределения скоростей – линейный для ламинарного подслоя, степенной или лучше логарифмический для турбулентного ядра. Для турбулентного течения в целом характерен значительно более полный профиль скорости. Обычно кривые скорости изображают в безразмерных координатах.

Зная закон распределения скоростей, можно получить закон сопротивления. Так, степенному закону отвечает закон сопротивления Блазиуса. Имеется ряд формул на основе опытных данных, описывающих сопротивления при турбулентном течении для разных интервалов чисел Рейнольдса (Блазиуса, Никурадзе, Конакова и др.).

Студент должен быть знаком с этими формулами, а также с законами сопротивления шероховатых труб.

Надо представлять характер влияния на течение в трубах неизотермичности потока.

Суммарное касательное напряжение при турбулентном течении состоит из напряжения, вызванного действием сил вязкости и обусловленного турбулентным перемешиванием.

Для получения уравнений турбулентного течения – уравнений Рейнольдса используются уравнения Навье-Стокса, все члены которых подвергаются операции осреднения по времени. Уравнения Рейнольдса отличаются от уравнений Навье-Стокса не только тем, что в них входят осредненные значения скорости вместо мгновенных и девять новых членов, зависящих от пульсации скорости. Напряжения, порожденные пульсациями скорости, называются турбулентными.

Потери на трение по длине определяются но формуле Дарси, которая может быть получена из соображений размерности.

Центральным вопросом темы является определение коэффициента гидравлического трения в формуле Дарси. В общем случае коэффициент является функцией числа Рейнольдса и относительной шероховатости :

где - абсолютная эквивалентная шероховатость; d – диаметр трубы.

Наиболее полно эта зависимость раскрывается графиком Никурадзе, который получен экспериментально на трубах с искусственной зернистой равномерной шероховатостью. На графике можно выделить пять зон, каждая из которых характеризуется определенной внутренней структурой потока и в соответствии с этим определенной зависимостью от и

1. Зона изменения Rе от 0 до 2320. Ламинарный режим потока. Здесь

. По Пуазейлю,

2. Зона изменения Rе от 2320 до ~4000. Неустойчивая зона перемежающейся турбулентности, когда на отдельных участках возникают области турбулентного режима, которые разрастаются, а затем исчезают и снова появляются. Изменение структуры потока сопровождается колебаниями величины . Зона не рекомендуется для применения в гидравлических системах.

Френкелем предложена формула для определения коэффициента сопротивления трения в переходном режиме движения

.

3. Зона чисел Rе от ~4000 до ~10. Поток характеризуется турбулентным ядром и пристенным (пограничным) ламинарным слоем, ввиду чего коэффициент не зависит от , а зависит только от Rе. Здесь трубы работают как «гидравлически гладкие». Для этой зоны, по Блазиусу,

.

4. Зона, в которой . Пределы зоны определяются соотношением . Переходная зона к «гидравлически шероховатым» трубам. Пристенный ламинарный слой равен (или меньше) высоте выступов шероховатости.

5. Зона больших чисел Re> и, следовательно, интенсивной турбулентности. Трубы «гидравлически шероховатые», т. е. квадратичная зона сопротивления. Коэффициент не зависит от Re и является функцией только .

Как показали более поздние исследования, результаты Никурадзе для «гидравлически шероховатых» труб нельзя перенести на трубы с естественной шероховатостью. Оказалось, что в четвертой и пятой зонах общий характер зависимости () сохраняется, но вид кривых на графике для различных типов шероховатостей получается различным, т. е. на влияет не только величина , но и характер шероховатостей стенок труб. Для отдельных технических труб с естественной шероховатостью для определения в четвертой зоне может быть рекомендована формула Альтшуля

,

а для пятой зоны – формула Шифринсона

.

Здесь - эквивалентная абсолютная шероховатость, т. е. такая величина равномерной зернистой шероховатости Никурадзе, которая при расчетах дает такой же коэффициент , как и естественная шероховатость.

Отметим, что при малых Re<10 формула Альтшуля переходит в формулу Блазиуса для «гидравлически гладких» труб, а при больших Re>обращается в формулу Шифринсона для вполне «гидравлически шероховатых» труб.

Вместо приведенных расчетных формул для определения можно пользоваться графиком Г.А. Мурина (ВТИ) или Колбрука-Уайта.

Литература [1, с. 242-265]; [2, с. 145-183]; [3, с. 104-186]; [4, с. 266-318];

[5, с. 69-103].

Вопросы для самопроверки

1. Какие бывают потери напора при движении жидкости?

2. Какие сопротивления называют местными?

3. От чего зависит значение коэффициента , и как он определяется?

4. Как определяются потери напора по длине трубопровода?

5. Как записывается основное уравнение равномерного движения жидкости?

6. Чем отличается структура потока при ламинарном и турбулентном режимах движения жидкости?

7. Как определяется число Рейнольдса, и чему равно его критическое значение для круглой трубы?

8. Что называется критической скоростью?

9. Для чего нужно знать режим движения жидкости?

10. Выведите закон распределения скоростей для ламинарного течения в круглой трубе.

11. Каково соотношение между максимальной и средней скоростью при ламинарном и турбулентном течении?

12. Что такое начальный участок?

13. Почему потери на начальном участке больше, чем при установившемся ламинарном течении?

14. Каковы основные особенности турбулентного течения жидкости?

15. Что такое мгновенная скорость, осредненная скорость, пульсационная скорость, какая между ними связь?

16. Как объясняет механизм турбулентности гипотеза Прандтля?

17. Что такое коэффициент турбулентной вязкости?

18. Чем определяется «путь перемешивания»?

19. В какой области турбулентного потока степенной закон распределения неверен?

20. Как меняется профиль скоростей турбулентного потока при увеличении числа Рейнольдса?

21. Напишите выражение для полного касательного напряжения в турбулентном потоке.

22. Чему равно турбулентное касательное напряжение на стенке?

23. Чем осредненные уравнения движения отличаются от уравнений Навье-Стокса?

24. Как влияет на сопротивление трения шероховатость поверхности труб?

25. В каких случаях сопротивление трения не зависит от числа Рейнольдса?

26. Сколько имеется зон сопротивления в турбулентном режиме?

27. От чего зависит коэффициент сопротивления трения и как его можно определить?

Гидравлический расчет трубопроводов

Классификация трубопроводов: простые и сложные, короткие и длинные. Расчет простого водопровода постоянного диаметра. Расчет длинных трубопроводов с учетом местных сопротивлений эквивалентной длиной трубы. Расчет простого ступенчатого трубопровода.

Последовательное и параллельное включение труб. Водопровод с путевым расходом. Сифонный трубопровод.

Разветвленные и кольцевые сети, общая методика их расчета. Понятие об экономически наивыгоднейвшем диаметре трубопровода.

Особенности в расчете газопроводов. Газопровод при малых изменениях давления и температуры. Изотермическое движение газа в длинной трубе.