7.6. Геометричне застосування визначеного інтеграла.

7.6.1. Площа плоскої фігури.

Якщо на відрізку функція , то згідно з формулою , обчислення площі криволінійної трапеції, зображеної на рис.1, можна знайти за формулою .

Якщо на відрізку функція , то криволінійна трапеція, обмежена кривою , відрізка та прямими і , буде розташована нижче осі . Визначений інтеграл у цьому випадку буде . Але площа є невід’ємною величиною, тому площу криволінійної трапеції, розташованої нижче осі , треба знаходити за формулою або .

Якщо на відрізку , декілька разів змінює знак, то інтеграл по відрізку треба розбити на суму інтегралів по часткових відрізках. Інтеграл буде додатним на тих відрізках, де та від’ємним там, де . Інтеграл по відрізку дає різницю площ, що лежать вище та нижче осі .

Щоб одержати суму площ (без врахування розташування відносно осі ) треба знайти суму абсолютних величин інтегралів по часткових відрізках або обчислити інтеграл від абсолютного значення функції, тобто .

Приклад: Обчислити площу фігури обмеженої лініями та .

Розв’язування. Спочатку зобразимо фігуру, площу якої треба знайти.

Знайдемо точку перетину цих парабол. Координати точок перетину задовольняють обом рівнянням, тому . Отже, площа заштрихованої фігури буде:

.

рис. 3.

7.6.2. Об’єм тіла обертання та площі поверхні тіла обертання.

Нехай криволінійна трапеція, обмежена кривою , відрізком осі та прямими та обертається навколо осі (рис 3.). Тоді об’єм тіла обертання можна знайти за формулою , а площу поверхні обертання за формулою .

Приклад: Обчислити об’єм кулі радіуса .

Розв’язування. Кулю можна розглядати як результат обертання полукруга, обмеженого частиною кола , навколо осі . Використовуючи рівність , симетричність кола відносно осі та формулу , одержимо кулі:

.

7.7. Невласні інтеграли.

Згідно з теоремою існування визначеного інтеграла цей інтеграл існує, якщо виконані умови:

1. відрізок інтегрування скінчений;

2. підінтегральна функція неперервна або обмежена і має скінчену кількість точок розриву.

Якщо хоч одна з умов не виконується, то визначений інтеграл називають невласним.

Якщо не виконується перша умова, то або або та , то інтеграли називають невласними інтегралами з нескінченими межами.

Якщо не виконується лише друга умова, то підінтегральна функція має точки розриву другого роду на відрізку інтегрування . В цьому випадку називають невласним інтегралом від розривної функції або від функції, необмеженої в точках відрізку інтегрування.

Дослідження невласних інтегралів.

Дослідження невласних інтегралів проводять шляхом використання граничного переходу до визначеного інтеграла.

Інтеграли з необмеженими межами розглядають так:

.

.

Якщо вказані границі існують (будуть скінченими числами), то відповідний інтеграл називають збіжним і він дорівнює своїй границі. Якщо якась границя не існує або дорівнює нескінченості, то інтеграл називають розбіжним.

Приклад: Обчислити інтеграл або встановити його розбіжність.

Розв’язування: Згідно з означенням невласного інтеграла, маємо:

. Отже, цей інтеграл, збіжний і дорівнює 1.

У випадку необмеженої на функції її точки розриву можуть бути на лівому кінці або на правому кінці або всередині проміжку інтегрування . У цих випадках невласні інтеграли визначають так:

Якщо вказані границі існують, то відповідний інтеграл називають збіжним. У протилежному випадку розбіжним.

Приклад: Обчислити інтеграл або встановити розбіжність.

Розв’язування: В точці підінтегральна функція необмежена, тобто вона має розрив всередині проміжка інтегрування. За означенням такого невласного інтеграла маємо:

. Отже, інтеграл розбіжний.