III.1. Регулярная поверхность.

На евклидовой плоскости выбрана некоторая область , гомеоморфная прямоугольнику. Можно считать, что прямоугольник. Он состоит из точек , , т.е. , и , область может совпадать с . Плоскость есть пара , где евклидова метрика на . Задано отображение

плоской области в евклидово пространство , в котором точке из соответствует точка из , в . Отображение является гомеоморфным - взаимно однозначным и взаимно непрерывным. В выбран ортонормированный репер . При изменении точки в области изменяется точка в пространстве . Координаты , , точки являются функциями координат точки :

, , , .

Эти функции непрерывны, ввиду того, что отображение гомеоморфно. Таким образом, имеется векторная функция двух параметров

, .

Отображение и образ области в отображении называется поверхностью. Поверхность есть множество точек

.

Задается поверхность векторной функцией

Поверхность составляют концы векторов , поэтому поверхность называется годографом функции .

Наложим на функцию условия:

1. есть функция класса , т.е. существуют непрерывные частные производные этой функции до третьего порядка включительно;

2. Векторы , неколлинеарны в точках области . Неколлинеарность, векторов означает, в частности, что они ненулевые, а также означает, что ранг следующей матрицы равен 2:

.

Поверхность, заданная векторной функцией с указанными условиями, называется регулярной класса . Область задания поверхности можно считать окрестностью всякой ее внутренней точки , , . Всякая точка регулярной поверхности называется обыкновенной. Мы изучаем поверхности в окрестности обыкновенной точки.

III.2. Линии на поверхности.

Фиксируя на поверхности один из параметров, получаем на поверхности регулярную кривую, см. п. II.1. Имеем следующие линии:

• -линии поверхности, это линии , ;

• -линии , .

Всякие две -линии и всякие две -линии поверхности не пересекаются. Чрез каждую точку поверхности проходит единственная -линия и единственная -линия. Таким образом, на поверхности имеется криволинейная координатная сеть. С каждой точкой поверхности связан репер ; производные , вычислены в точке ,

.

Если в области заданы функции , , то на поверхности определяется линия

,

Это произвольная линия на поверхности.

III.3. Касательная плоскость и нормаль поверхности.

Пусть точка регулярной поверхности . В этой точке имеем неколлинеарные векторы , . Для любой линии выполняется

,

т.е. вектор касательной всякой линии поверхности , проходящей через точку , является линейной комбинацией векторов , - векторов касательных -линии и -линии; вектор принадлежит оболочке . Касательная прямая всякой кривой поверхности лежит в плоскости . Касательные всех линий поверхности , проходящих через точку , образуют плоскость. Получена следующая

III.3.1. ТЕОРЕМА. Регулярная поверхность в каждой своей точке обладает касательной плоскостью <. #

Пусть и производные , вычислены в точке . Тогда уравнение касательной плоскости таково

.

Прямая называется нормалью поверхности в точке . Ее уравнения:

.