Введение

Скорость и ускорение прямолинейного движения в общем случае определяются формулами

  , a 

В случае прямолинейного равномерного движения

   const, a  0.

Для прямолинейного равнопеременного движения

s ₀ t  ,   ₀  at, a  const.

В этих уравнениях ускорение a положительно при pавноускоренном движении и отрицательно при pавнозамедленном.

При криволинейном движении полное ускорение

a .

Здесь — тангенциальное (касательное) ускорение и — нормальное (центростремительное) ускорение, причём

,  ,

где  — скорость движения и R — радиус кривизны траектории в данной точке.

При вращательном движении в общем случае угловая скорость и угловое ускорение находятся по формулам

  ,    .

В случае равномерного вращательного движения угловая скорость

    n,

где T — период вращения, n — частота вращения, т.е. число оборотов в единицу времени.

Угловая скорость  связана с линейной скоростью  соотношением

 = R.

Тангенциальное и нормальное ускорения при вращательном движении могут быть выражены в виде

 R ,  ²R

Основной закон динамики (второй закон Ньютона) выражается уравнением

F dt = d(m).

Если масса m постоянна, то

F = m = ma,

где a — ускорение, которое приобретает тело массой m под действием силы F.

Работа силы на пути s может быть выражена формулой

A = ,

где F_s — проекция силы на элементарное перемещение d, ds — длина элементарного перемещения. Интегрирование должно быть распростра-нено на весь путь s. В случае постоянной силы, действующей под углом  к перемещению, имеем

A = F s сos ,

где  — угол между силой и перемещением .

Мощность определяется формулой

.

В случае постоянной мощности

.

Здесь A — работа, совершаемая за время t. Мощность может быть определена также формулой

N = F сos ,

т.е. произведением скорости движения на проекцию силы на направление движения.

Для кинетической энергии тела массой m, движущегося со скоростью , имеем

.

Формулы для потенциальной энергии имеют разный вид в зависимости от характера действующих сил.

Импульс замкнутой механической системы постоянен при любых взаимодействиях тел системы, т.е.

 const.

Полная механическая энергия системы, между телами которой действуют консервативные силы, постоянна, т.е.

= = const,

где — потенциальная энергия системы.

Работа A неконсервативных сил равна изменению механической энергии системы, т.е. A = , и — механическая энергия системы в конечном и начальном состоянии.

При криволинейном движении сила, действующая на материальную точку, может быть разложена на две составляющие — тангенциальную и нормальную. Нормальная составляющая

является центростремительной силой. Здесь  — линейная скорость движения тела массой m, R — радиус кривизны траектории в данной точке.

Сила, вызывающая упругую деформацию x, пропорциональна деформации, т.е.

F = k x,

где k — жёсткость (коэффициент, численно равный силе, вызывающей деформацию, равную единице).

Потенциальная энергия упругого тела

Две материальные точки (т.е. такие тела, размеры которых малы по сравнению с их взаимным расстоянием) притягиваются друг к другу с силой

,

где G = 6,67210^–11 Нм/кг² — гравитационная постоянная, m₁ и m₂ — массы взаимодействующих материальных точек, r — расстояние между ними. Этот закон справедлив и для однородных шаров; при этом r — расстояние между их центрами масс.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел

.

Знак "минус" соответствует тому, что при r   потенциальная энергия двух взаимодействующих тел равна нулю; при сближении этих тел потенциальная энергия убывает.

Момент M силы F относительно какой-нибудь оси вращения определяется формулой

M = F l,

где l — расстояние от прямой, вдоль которой действует сила, до оси вращения.

Моментом инерции материальной точки относительно какой-нибудь оси вращения называется величина

I = m r²,

где m — масса материальной точки и r — её расстояние до оси вращения.

Момент инерции твёрдого тела относительно оси его вращения

,

где интегрирование должно быть распространено на весь объём тела. Производя интегрирование, можно получить момент инерции тела любой формы.

Момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра

,

где R — радиус цилиндра и m — его масса.

Момент инерции полого цилиндра (обруча) с внутренним радиусом R₁ и внешним R₂ относительно оси цилиндра

,

для тонкостенного полого цилиндра R₁  R₂ = R и I  mR².

Момент инерции однородного шара радиусом R относительно оси, проходящей через его центр:

.

Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно к нему,

.

Если для какого-либо тела известен его момент инерции I_c относительно любой оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции I относительно любой оси, параллельной первой, может быть найден по формуле Штейнера

где m — масса тела и d — расстояние от центра масс тела до оси вращения.

Основной закон динамики вращательного движения выражается уравнением

Mdt = dL = d(I),

где M — момент сил, приложенный к телу, L — момент импульса тела (I — момент инерции тела,  — его угловая скорость). Если I = const, то

,

где  — угловое ускорение, приобретаемое телом под действием момента сил M.

Кинетическая энергия вращающегося тела

где I — момент инерции тела и  — его угловая скорость.

ЗАДАЧИ

1 (1.2). Первую половину своего пути автомобиль двигался со скоростью ₁ = 80 км/ч, а вторую половину со скоростью ₂ = 40 км/ч. Какова средняя скорость  движения автомобиля?

2 (1.8). Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через время t = 3 с. Какова была начальная скорость ₀ тела и на какую высоту h оно поднялось?

3 (1.9). Камень бросили вертикально вверх на высоту h = 10 м. Через какое время t он упадёт на землю? На какую высоту h поднимется камень, если начальную скорость камня увеличить вдвое?

4 (1.10). С аэростата, находящегося на высоте h = 300 м, упал камень. Через какое время t камень достигнет земли, если: а) аэростат поднимается со скоростью  = 5 м/с; б) аэростат опускается со скоростью  = 5 м/с; в) аэростат неподвижен?

5 (1.12). Тело падает с высоты h = 19,6м с начальной скоростью ₀ = 0. Какой путь пройдёт тело за первую и последнюю 0,1 с своего движения?

6 (1.14). Свободно падающее тело в последнюю секунду движения проходит половину всего пути. С какой высоты падает тело и каково время t его падения?

7 (1.16). Расстояние между двумя станциями метрополитена l = 1,5 км. Первую половину этого расстояния поезд проходит равноускоренно, вторую — равнозамедленно с тем же по модулю ускорением. Максимальная скорость поезда  = 50 км/ч. Найти ускорение a и время t движения поезда между станциями.

8 (1.18). Поезд, двигаясь равнозамедленно, в течение времени t = 1 мин уменьшает свою скорость от ₁ = 40 км/ч до ₂ = 28 км/ч. Найти ускорение a поезда и расстояние s, пройденное им за время торможения.

9 (1.19). Поезд движется равнозамедленно, имея начальную скорость ₀ = 54 км/ч и ускорение a = –0,5 м/с². Через какое время t и на каком расстоянии s от начала торможения поезд остановится?

10 (1.20). Тело 1 движется равноускоренно, имея начальную скорость ₁₀ и ускорение a₁. Одновременно с телом 1 начинает двигаться равнозамедленно тело 2, имея начальную скорость ₂₀ и ускорение a₂. Через какое время после начала движения оба тела будут иметь одинаковую скорость?

11 (1.22). Зависимость пройденного телом пути s от времени t даётся уравнением , где A = 2 м/с, B = 3 м/с² и C = 4 м/с³. Найти: а) зависимость скорости  и ускорения a от времени t; б) расстояние s, пройденное телом, скорость и ускорение тела через время t = 2 с после начала движения.

12 (1.24). Зависимость пройденного телом пути s от времени t даётся уравнением , где A = 3 м, B = 2 м/с и C = 2 м/с². Найти среднюю скорость _ср и среднее ускорение a_ср тела за первую, вторую и третью секунды его движения.

13 (1.26). С башни высотой h = 25 м горизонтально брошен камень со скоростью   = 15 м/с. Какое время t камень будет в движении? На каком расстоянии l от основания башни он упадёт на землю? С какой скоростью он упадёт на землю? Какой угол  составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю?

14 (1.27). Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через время t = 0,5 c на расстоянии l = 5 м по горизонтали от места бросания. С какой высоты h брошен камень? С какой скоростью он брошен? С какой скоростью он упадёт на землю? Какой угол составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю?

15 (1.28). Мяч, брошенный горизонтально ударяется о стенку, находящуюся на расстоянии l = 5 м от места бросания. Высота места удара мяча о стенку на h = 1 м меньше высоты h, с которой брошен мяч. С какой скоростью  брошен мяч? Под каким углом мяч подлетает к поверхности стенки?

16 (1.29). Камень, брошенный горизонтально, через время t = 0,5 с после начала движения имел скорость  в 1,5 раза большую скорости _x в момент бросания. С какой скоростью _x брошен камень?

17 (1.32). Мяч брошен со скоростью ₀ = 10 м/с под углом  = 40 к горизонту. На какую высоту поднимется мяч? На каком расстоянии l от места бросания он упадёт на землю? Какое время t он будет в движении?

18 (1.33). На спортивных состязаниях в Ленинграде спортсмен толк-нул ядро на расстояние l₁ = 16,2м. На какое расстояние l₂ полетит такое же ядро в Ташкенте при той же начальной скорости и при том же угле наклона её к горизонту? Ускорение свободного падения в Ленинграде g₁ = 9,819 м/с², в Ташкенте g₂ = 9,801 м/с².

19 (1.35). Камень, брошенный со скоростью ₀ = 12 м/с под углом  = 45 к горизонту, упал на землю на расстоянии l от места бросания. С какой высоты h надо бросить камень в горизонтальном направлении, чтобы при той же начальной скорости он упал на то же место?

20 (1.40). Мяч, брошенный со скоростью ₀ = 10 м/с под углом  = 45 к горизонту, ударяется о стенку, находящуюся на расстоя нии l = 3 м от места бросания. Когда происходит удар мяча о стенку (при подъёме мяча или при его опускании)? На какой высоте h мяч ударит о стенку (считая от высоты, с которой брошен мяч)? Найти скорость  мяча в момент удара.