Матрица эффективности рекламы (долл.Прибыли/долл.Затрат)

Группа товара Вид рекламы	Мебель	Компью-теры	Парфю-мерия	Ткани	Автомо-били
Газета	37	32	28	27	32
Радио	42	30	31	19	29
Телевидение	40	41	39	22	47
Щитовая реклама	21	35	27	31	37

Математическая модель задачи в соответствии с (3.30) – (3.40) имеет вид

 max

 2000 (3.41)

x_ik  0 (i = 1, 2, 3, 4; k = 1, 2, 3, 4, 5)

Здесь c_ik – элементы представленной числовой матрицы эффективности, а x_ik – искомые объемы денежных вложений (в долларах) в каждый вид рекламы по каждой группе товара.

Результаты решения этой задачи с использованием Microsoft Excel представлены ниже в матрице оптимальных значений искомых параметров.

Оптимальные объемы затрат на рекламу (долл.)

Группа товара Вид рекламы	Мебель	Компью-теры	Парфю-мерия	Ткани	Автомо-били
Газета	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0
Радио	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0
Телевидение	0,0	0,0	0,0	0,0	2000,0
Щитовая реклама	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0

Можно видеть, что полученное решение, предлагающее все имеющиеся средства вложить в один вид рекламы (телевидение) и по одной группе товара (автомобили), вряд ли может представиться убедительным. Более того, внимательный читатель, анализируя исходную матрицу эффективности рекламы, уверенно мог бы предсказать этот результат, поскольку удельная прибыль именно от рекламы автомобилей на телевидении имеет самую большую величину.

Полученная очевидная нелепость как раз и связана с ограниченными возможностями использования моделей линейного программирования для задач, по самому своему смыслу являющихся нелинейными. Действительно, в линейной постановке задачи предполагается, что прибыль непрерывно растет при увеличении объемов вложений в рекламу, что не может соответствовать реальной ситуации. Однако сама структура исходной задачи линейного программирования как задачи о назначениях может быть успешно использована для практики, если ее преобразовать в нелинейную, рассматривая реальную зависимость прибыли от объема вложения средств на рекламу.

Эта зависимость может быть получена из анализа упомянутых маркетинговых исследований, но не путем представления эффективности рекламы в виде усредненных удельных показателей, а виде реальной зависимости величины прибыли от объема вложенных в рекламу средств.

Будем считать, что такие зависимости по каждому виду рекламы для каждой группы товара получены. Представим, что в результате исследования зависимости прибыли P_ik, получаемой при реализации k-того товара, рекламируемого i-тым видом рекламы, от величины объемов вложений x_ik в соответствующую рекламу, получен график, изображенный на рис.3.9. График показывает, что прибыль P_ik линейно возрастает до величины вложений

, после чего остается на определенном отрезке постоянной. Аналитически это может быть выражено в виде нелинейной функции

(3.42)

где .

Тогда максимизируемая целевая функция с учетом нелинейности (3.42) может быть записана в виде суммарной прибыли, содержащей в качестве компонентов нелинейности вида (3.42)

F(x_ik) =  max, (3.43)

а система ограничений, как и ранее, имеет вид (3.40)

 V

x_ik  0 (i = 1, 2, . . ., m; k = 1, 2, . . ., n)

С использованием приведенной нелинейной модели решим рассмотренную выше задачу оптимального распределения имеющихся ресурсов на рекламу. Пусть матрица эффективности имеет те же величины, что и в предыдущей задаче. Матрица предельных значений прибыли , полученная после обработки данных маркетинговых исследований, приведена ниже (величины элементов матрицы представлены в долларах)