ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

ИЗУЧЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ СОЛЕНОИДА

С ПОМОЩЬЮ ДАТЧИКА ХОЛЛА

Цель работы. Познакомиться с холловским методом измерения индукции магнитного поля соленоида.

Приборы и оборудование. Модуль ФПЭ-04; источник питания (ИП); цифровой вольтметр (PV); соленоид (С); шток (Ш) с нанесенной шкалой и закрепленным на торце датчиком Холла.

ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

В пространстве, окружающем проводники с током или движущиеся электрические заряды, возникает магнитное поле, которое можно обнаружить по воздействию его на другой проводник с током или магнитную стрелку. Количественно магнитное поле в каждой точке пространства может быть описано с помощью вектора напряженности H или с помощью вектора магнитной индукции B.

В вакууме векторы магнитной индукции B и напряженности H связаны соотношением

B = m_oH, (4.1)

где m_o = 4p×10^-7 Гн/м - магнитная постоянная.

Для вычисления напряженности и индукции магнитного поля в данной точке пространства используют закон Био-Савара-Лапласа, согласно которому элементарная напряженность dH магнитного поля, создаваемая в вакууме элементом проводника dl с током I в этой точке на расстоянии r от него, в векторном виде определяется выражением:

dH = . (4.2)

Модуль вектора элементарной напряженности dH магнитного поля выражается формулой:

dH = dl, (4.3)

где a - угол между векторами dl и r.

Для нахождения результирующей напряженности H магнитного поля, создаваемой проводником конечных размеров, нужно воспользоваться принципом суперпозиции и найти векторную сумму напряженностей H₁, H₂, ... , H_n складываемых магнитных полей:

H = = H₁ + H₂ + ... + H_n. (4.4)

Применим формулы (4.2) и (4.3) для вычисления напряженности магнитного поля на оси соленоида, на единицу длины которого приходится число n витков.

Как известно, соленоидом называется цилиндрическая катушка с током, состоящая из большого числа равномерно намотанных витков проволоки, которые образуют винтовую линию. Если витки расположены вплотную или очень близко друг к другу, то соленоид можно рассматривать как систему последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса с общей осью.

Поскольку каждый виток соленоида - это круговой ток, поэтому сначала вычислим напряженность магнитного поля на оси проводящего кругового витка радиусом R с током I в точке A, равноудаленной от всех точек витка на расстояние r (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Выделим на витке элемент dl и от него к точке А проведем радиус-вектор r. Вектор напряженности dH направим в соответствии с правилом буравчика.

Следует иметь в виду, что dH - вектор, поэтому, прежде чем интегрировать, разложим его на две составляющие: dH₁ - перпендикулярную плоскости витка и dH₂ - параллельную плоскости витка, т.е. dH = dH₁ + dH₂.

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, напряженность H магнитного поля в точке А определится интегралом

H = = + , (4.5)

где символ L указывает на то, что интегрирование ведется по всей длине витка.

Учитывая, что при сложении составляющих напряженности dH₂ магнитного поля, параллельных плоскости витка, вследствие симметрии расположения точки A относительно витка они компенсируют друг друга, следовательно, = 0. Тогда H = , где интегрирование ведется по всем элементам dl витка.

Так как векторы dH₁ от различных элементов dl витка сонаправлены, то, заменив векторное суммирование (интегрирование) скалярным, получим:

H = , (4.6)

где

dH₁ = dH cos b и dH = dl. (4.7)

Поскольку элемент dl витка перпендикулярен радиус-вектору r, то a = p/2 и, следовательно, sin a = 1. Учитывая также, что cos b = R/r, получим

dH₁ = dl. (4.8)

Произведя интегрирование, найдем

H = = = ×2pR = . (4.9)

Теперь перейдем к вычислению напряженности магнитного поля соленоида радиусом R и длиной L с током I, поперечное сечение которого изображено на рис. 4.2. Кружочки с точками изображают сечения витков, в которых электрический ток направлен из-за чертежа к нам, а кружки с косыми крестиками - сечения витков, в которых ток направлен от нас за чертеж.

Напряженность H магнитного поля соленоида равна геометрической сумме напряженностей H_i магнитных полей всех витков этого соленоида. В произвольной точке A, лежащей на оси О₁О₂ соленоида все векторы напряженностей H_i и результирующий вектор напряженности H направлены по его оси О₁О₂ в ту сторону, куда перемещается буравчик с правой резьбой при вращении его рукоятки в направлении электрического тока в витках соленоида.

Поскольку на единицу длины соленоида приходится число n витков, следовательно, на малом участке соленоида длиной dl вдоль его оси будет находиться ndl витков. Так как l - расстояние вдоль оси от этих витков до точки A, то, согласно (4.9), элементарная напряженность магнитного поля этих витков в этой точке A будет выражаться формулой

dH = ndl. (4.10)

Рис. 4.2	Рис. 4.3

Прежде чем интегрировать выражение (4.10), преобразуем его так, чтобы можно было интегрировать по углу a. Выразим длину dl малого участка соленоида через угол da. На рис. 4.3 отдельно изображены малый участок соленоида длиной dl, радиус-вектор r и углы a и da. Из геометрических построений рис. 4.2 и 4.3 следует, что

dl =. (4.11)

Подставим это выражение (4.11) для dl в формулу (4.10):

dH = da. (4.12)

Так как расстояние r - величина переменная, зависящая от угла a и определяемая соотношением

r = , (4.13)

то, подставив выражение (4.13) для r в формулу (4.12), найдем

dH = nI sin a da. (4.14)

Поскольку в пределах соленоида угол a изменяется в пределах от a₁ до a₂, то интегрируя выражение (4.14), получим:

H =nI sin a da = nIda =nI (cos a₁ - cos a₂). (4.15)

Если длина L соленоида много больше его радиуса R (L >> R, или, как это часто бывает на практике, L ³ 10R), то соленоид можно приближенно считать бесконечно длинным. Тогда для точки A, лежащей вдали от концов такого соленоида, углы a₁ = 0 и a₂ = p, поэтому, из формулы (4.15) следует, что

H = nI. (4.16)

Таким образом, напряженность магнитного поля внутри бесконечно длинного соленоида равна произведению числа n витков, приходящихся на единицу его длины, на силу тока I в обмотке соленоида. Вне соленоида напряженность магнитного поля равна нулю.

Метод измерения

В настоящей работе для экспериментального исследования напряженности магнитного поля на оси соленоида используется метод, основанный на эффекте Холла.

Рис. 4.4

Эффектом Холла (1879 г.) называется возникновение разности потенциалов и поперечного электрического поля в металле или полупроводнике, по которому течет электрический ток, при помещении его в магнитное поле, перпендикулярное направлению тока.

Рассмотрим проводник в форме прямоугольной пластинки с площадью поперечного сечения S = a´h (a - ширина пластинки, h - ее высота), вдоль которой течет постоянный электрический ток плотностью j (рис. 4.4). Эквипотенциальными поверхностями (поверхностями равного потенциала) внутри этой пластинки будут плоскости, перпендикулярные к направлению тока. Потенциал во всех точках каждой поверхности одинаков, поэтому разность потенциалов между любыми двумя ее противоположными сторонами, будет равна нулю.

Однако, если прямоугольную проводящую пластинку поместить в магнитное поле с индукцией B, перпендикулярное направлению тока j, то между противоположными сторонами пластинки, перпендикулярными B и j, возникнет поперечная разность потенциалов (ЭДС Холла), указывающая на то, что при наличии магнитного поля эквипотенциальные поверхности в пластинке повернутся и станут наклонными.

Эффект Холла довольно просто объясняется классической электронной теорией электропроводности металлов и является следствием существования силы Лоренца. Чтобы лучше выяснить физическую сущность этого явления, будем приближенно считать, что все электроны в пластинке движутся с постоянной скоростью v, равной средней скорости их упорядоченного движения. Так как электроны несут отрицательный заряд, поэтому скорость их движения направлена противоположно току. На каждый движущийся электрон со стороны магнитного поля действует магнитная сила, перпендикулярная к направлению тока и индукции магнитного поля, равная F_м = evB. Под действием этой силы электроны будут смещаться, в результате чего у одной стороны пластинки возникнет повышенная концентрация - избыток электронов и она зарядится отрицательно, а у другой, противоположной стороны пластинки - их недостаток и она зарядится положительно, а внутри пластинки возникнет поперечное к току и магнитному полю дополнительное электрическое поле напряженностью E, в котором со стороны электрического поля на электроны будет действовать кулоновская сила, равная F_к = eE. Отклонение электронов в магнитном поле будет происходить до тех пор, пока кулоновская сила поперечного электрического поля, возникающего вследствие появления холловской разности потенциалов, не уравновесит магнитную силу, заставляющую отклоняться электроны от первоначального направления движения.

При установлении стационарного распределения зарядов в поперечном направлении пластинки и равенстве магнитной и кулоновской сил имеем:

evB = eE.

Тогда поперечная (холловская) разность потенциалов будет определяться выражением Dj_Х = Eа = vBа, так как E = vB.

В этом уравнении среднюю скорость v упорядоченного движения электронов выразим через плотность j тока, а плотность тока j через силу тока I. Так как с одной стороны, j = env, и с другой стороны, j = I/S, то

v = = ,

где e - заряд электрона; n - их концентрация; S - площадь поперечного сечения пластинки.

Поскольку S = a´h, a - ширина пластинки, h - ее высота, то

v = .

Следовательно, окончательно получим

Dj_Х = Bа = = R_X,

где R_X = 1/(en) - постоянная Холла, зависящая от рода вещества (концентрации n электронов проводимости); I = jah - сила управляющего тока.

Таким образом, в слабых магнитных полях поперечная (холловская) разность потенциалов Dj_Х прямо пропорциональна индукции B магнитного поля, силе тока I, текущего вдоль пластинки, и обратно пропорциональна высоте h пластинки.

Поскольку постоянная Холла для полупроводников значительно больше, чем для проводников, поэтому в настоящей работе используется полупроводниковый датчик Холла марки Х501 с управляющим током I = 90 мА.

Силовые линии магнитного поля на оси соленоида направлены вдоль его оси, поэтому датчик Холла располагается на торце специального штока, вставляемого в соленоид. Толщина h датчика в направлении магнитного поля равна 0,2 мм. Для измерения положения датчика внутри соленоида на боковой грани штека нанесена миллиметровая шкала.

При отсутствии магнитного поля ЭДС Холла должна быть равна нулю. Однако вследствие различных побочных явлений (например, недостаточной точной установки выходных электродов датчика), измерительный прибор может показать некоторую разность потенциалов даже при отсутствии тока в соленоиде. Для исключения погрешностей измерения проводят дважды при двух противоположных направлениях тока в соленоиде. Тогда Dj_X = = (+ ). Однако в данной работе изменение направления тока в соленоиде не предусмотрено. Поэтому погрешность в определении dj_X указана в паспорте модуля ФПЭ-04.