7.4. Решение нелинейных уравнений в Excel

Нелинейные уравнения – это уравнения вида f(x)=0, где f(x) – нелинейная функция. Решение уравнения f(x)=0 сводится к поиску таких значений х^* (корней уравнения), которые превращают уравнение в тождество. Различают нелинейные алгебраические уравнения и трансцендентные.

Например, нелинейное алгебраическое уравнение ax² + вx +с =0 имеет два корня, которые могут быть действительными или мнимыми. Например, уравнение х² + 2=0 имеет два мнимых корня х₁= -2 и х₂= --2 .

В дальнейшем будет идти речь о вычислении только действительных корней.

Трансцендентным называется уравнение, если в f(x) входит хотя бы одна трансцендентная функция. Например, sin(x) –1=0;

Решение нелинейных уравнений выполняют в два этапа:

1. Этап отделения корней.

2. Этап уточнения корней , т.е. поиск коней с заданной точностью.

Этап отделения корней

Для этого построим график заданной функции f(x)=0. В столбце А располагаем изменение аргумента, а в столбце В табулируемую функцию. Строим график. На графике выделяем границы корня и в этих границах берем начальное приближение корня (нарисовать график, выделить корни и взять начальное приближение).

Этап уточнение корня

Команда Подбор параметров

Порядок уточнения:

1. В ячейку A1 вводим начальное приближение корня Х₁.

2. В ячейку В1 вводим формулу с заданной функцией.

3. Выполняем команды Сервис, Подбор параметра. Появляется окно Подбор параметра (рис. 7.7).

4. В поле "Установить в ячейке" записать адрес первой формулы (можно снять окно и щелкнуть ячейку В1, затем восстановить окно).

5. В поле "Значение" установить 0.

6. В поле "Изменяя значение ячейки" установить адрес А1 (снять окно и щелкнуть А1).

7. Щелкнуть ОК. Появляется окно Результат подбора параметра (рис. 7.8), а в ячейке А1 будет уточненное значение корня.

Рис. 7.8

Рис. 7.7

7.5. Вычисления по итерационным формулам

Итерационной называется формула типа y_i+1 = f (y_i) . Пример1. Вычисление задано итерационной формулой y_i+1=(x/y_i² +2y_i)/3

Начальное приближении у₀=1 и значение х= 27.

Составим ЭТ для вычисления:

1. В ячейку a2 запишем значение х равное 27 (рис. 7.9).

2. В ячейку b2 запишем значение у₀ равное 1.

3

Рис. 7.9

. В ячейку b3 запишем формулу = ($A$1/B1^2+2*B1)/3, которую копируем вниз

Пример 2. Заданы итерационные формулы

x _i =2x_i-1 и y_i= x_i-1 + 3y_i-1 при изменении i=2,3,4,5.

При i=2 х₂ = 2х₁ и y₂= x₁ + 3y₁

Начальные значения x₁=1 ; y₁=1 (рис. 7.10) запишем в В2 и С2 соответственно. В ячейки В3 и С3 запишем формулы для х₂ и у₂ . Выделяем В3:С3 и копируем вниз до С6. Результат вычисления на рис. 7.11.

Рис. 7.10

Рис. 7.11

Пример 3.

Решение задач следующего типа:

Даны действительные числа у1, у2,…у5, которые записаны в В2:В6

Составить ЭТ для вычисления

и определения min(z1², z2², …,z5²) при i=1,2,…,5

Рис. 7.12