3. Уравнение движения смеси в длинных подъемниках

(УРАВНЕНИЕ А. П. КРЫЛОВА)

Для принятого закона распределения давления в подъем­нике ino уравнению (13) переход от элементарного подъемни­ка к длинному может быть выполнен путем замены ^ и V че"

рез средние значения |ср и Vcp- - «^ Бели принять изотермический закон .расширения газа в дл.и-шно.м подъемнике, то можно записать:

у- ^о Р '

Уравнение (17) является уравнением движения смеси в длинных подъемниках при четочиой структуре, Упростим

14

уравнение (17). Сравнивая в знаменателе первого слагаемого

V Р \\\Р\ 'Р;

величину —————— с величиной q .^ , академик Л. П. Кры­лов предлагает последней пренебрегать, так как они состав­ляет в среднем 6%.

Сумма третьего и четвертого слагаемого уравнения (17) в о.бы'ч!иых условиях работы подъемника представляет незначи­тельную долю правой его части и, как 'правило, не превышает 5-8%.

Пренебрегая значением q •^ в знаменателе первого слагае­мого правой части уравнения (17), мы увеличиваем ее; пре­небрегая третьим и четвертым слагаемыми той же части уравнения, мы ее уменьшаем. Таким образом, вторым допу­щением .как-то компенсируется .первое и в результате получа­ем достаточной точности общее уравнение движения в виде:

Уравнение (18) является приближенной зависимостью ^ж==/(^) для длинных подъемяиков и позволяет определить значения дебитов шодъемника при всех условиях его работы, т. е. при различных расходах газа, давлениях у башмака и у устья и, наконец, при различных диаметрах и длинах подъем­ника.

Анализ уравнения (18) 'показывает, что один и тот же де­бит жидкости можно получить при .изменяющихся ,в очень широких пределах комбинациях значений Vo, Pi, Рз, рж> d и Н. При этом максимальная эффективность может быть получена только при определенных комбинациях .перечисленных пара­метров.

Рассмотрим наиболее эффективные условия работы подъ­емника для характерных точек (<7жнач == 0, q ж опт и q ж макс )«

4. Работа подъемников на различных режимах

Как было показано, выше, работа подъемника характери­зуется оптимальной областью. Поэтому в промысловых усло­виях для каждой конкретной скважины необходимо уметь рассчитывать работу подъемника именно для этой области.

1§

Работая на режиме q ж макс для данного диаметра подъем-шгка, мы получим максимальную производительность, а .рабо­тая на 'режиме <7жопт- иам больший КПД 'работы газа (хотя .и меньшую лроиаводитсльность).

Использование теории движения смеси для решения спе­циальных задач (ра.счет пусковых давлений прм газлифтной эксплуатация, расчет .периодического газлифта) требует рас­смотрения условий работы подъемника в начальной точке, когда q ж нач = 0.

А. Рассмотрим условия его работы для точки </жнач = О. Для этого случая уравнение (17) с учетом (15) запишем з следующем виде:

^у .

Как .видно из уравнения (19), при увеличении среднего объемяого расхода газа первое слагаемое его уменьшается. а йторое слагаемое—увеличивается. Следовательно, для ка­кого-то значения Vcp значеиие ^ср имеет экстремум. Получим это значение Vcp- Для этого найдем первую производную icp по Vcn и приравняем ее нулю:

Находя Vcp из уравнения (2U) (корни этого уравнении/ и подставляя найденные значения Vcp в уравнение (19), по­лучаем минимальное значение Sep. мин • На рис. 8 представле­ны корни уравнения (20) для различных диаметров подъем­ников (кривая Vcp) > а также вычисленные для этих условий минимальные значения Scy.mn (кривая Sep. мин). Иа рис, 8

видно, что значение с; ср. м,н зависит ит диаметра подъемника. Эта зависимость может быть представлена в следующем ви­де:

Из уравнения (21) следует, чтп при условии

подъем жидкости 'не может иметь места ни при каком объем­ном расходе газа.

•Подставляя значения Vcp и ^ср из уравнений (15) и (!6) в уравнение (19), найдем зависимость между расходом газа, давлениями у башмака и у устья, а также плотностью жид­кости, диаметром <и длияой подъемника для режима его рабо­ты в точке q ж. нач = 0 для длиниого подъемника:

На рис. 9 -представлено графическое решение уравне­ния (22) для d == const, Р'г/Po •= 'const, рж = const.

Б. Рассмотрим работу иодъе.мни.ка в точке q ж макс» йог-пользуемся зависимостями <7ж==/(^. S) Д-^я элементарного подъемника, представленными на рис. 4 (d = const) для раз­личных диа.метров его. Если нанести на логарифмическую бу­магу значения q ж. макс. и соответствующие им значения V макс и S лля различных диаметров подъемников, то получим зави­симости, .представленные на рис. 10.

Уравнения (23) и (24) приближенные. Более точное урав­нение для <7ж.макс может -быть получено с учетам (21).

Аналогично вышеоп-исан-ному для элементарного подъем­ника 'можно 'получить

где m .и п — числовые коэффициенты.

Уравнение (23), .как показывает анализ, может быть ис­пользовано с достаточной точностью .получаемых результатов только до значения s > 0,1. При ^ < 0,1 уравнение (23) дает завышенные результаты и согласно (21) условие Ужнач==0 будет •не при ^ == 0, а Т1ри значения

0,071.

/•

^мнн ^^-г З,—— •

Удельный расход газа д.чя данного режима работы подъ­емника G ,,а^ будет:

Для перехода к длинным подъом.иижам, заменив $ и I/ Ил средни»м,и значениями в соответствии с (15) и (16), получим:

Таким образом, зависимости (27), (28) ii (29) могут быть использованы для расчета работы длинного подъемника на режиме максимальной подачи.

В. Рассмотрим работу подъемника в точке ^ж.опт- Рас­сматривая зависимости q^= /(У, S) элементарного подъемни­ка для различяых диаметров (рис. 4) и сопоставляя режия максимальной подачи с режимом оптимальной подачи, легко показать, что:

/ж опт *ж макс ^ ~ ") '

V — V (\ - ^г-}^{2 v}опт ~^ ^макс \¹ '/ >

ил.и с учетом уравнений (23) и (24):

Переходя к дл-инным .подъем ни.к а м заменой ^ и V их сред-«ими значениями из уравнений (15) и (16), получим:

Зависимости (33)—(35) могут быть использованы дли расчета работы длинного подъемлика на режиме оптимальной подачи.

Если давление на устье скважины Рч равно атмосферному

р _ П

{ps ⁼⁼ 9,81-Ю⁴ п/м²), то градиент давления S, == -^!——² можно

\ р \ ^^gH заменить относительным погружением So ^э:= —^L- • В этом слу-

?»gH чае вышеприведенные расчетные зависимости для максималь­ного и оптимального режимов работы подъемника можно пе­ревисать так:

Прежде чем перейти к а-нализу основных зависимостей. характеризующих работу подъемника, необходимо сделать следующие замечания.

Во-первых, для длинного подъемника принят изотермиче­ский процесс расширения газа, хотя тем.пература по длине тюдъемншка меняется существенно. Более точные результаты можно .получить, если принять закон реального газа ('см., на­пример, зависимость (85) в [1]).

Во-вторых, принятый линейный закон распределения дав­ления вдоль подъемника не всегда соответствует действитель­ности. Так как уравнение (9) является дифференциальным уравнением движения смеси в элементарном .подъемнике, то возможно его проинтегрировать для элементарного подъем­ника, а реальный подъемник предстанить как сумму элемен-

таоных В этом случае нет .никакой необходимости задав.. п>ся ISoM изменения давления идоль подъемника.

^ тоетьих зависимости справедливы для четочнон струк-««л^жен.ия смесей, а шотерл! на трение определены при д^еТии ?азож^костных смесей с максимальной вязкостью

^Ктве⁵)?^, .пренебрежение величиной ^ в знаменатели первогГ^аемого уравнения (17) может дать ошибку су-^Йвенно большую, чем 6%. Наконец, -в-пятых, из урав.не-нии^) и (39) Следует, что нулевая производительность УОмакс» 0 и Q on. = 0) должна быть получена при ,о - 0. Всоотаетствии с (21) можно записать:

т. е. для данного диаметра подъемника нулевая производи­тельность будет получена не при to = 0, а при конечном значе­нии So мин.

Несмотря на то, что расчетные значения по вышеприведен­ным зависимостям могут .иногда давать большие расхождения с фактическими данными, указанные зависимости позволяют выявить вл.ия.ние различных факторов на работу шодъемника.