Типовой расчет №1

По дисциплине: «Теория вероятностей и математическая статистика»

По теме: «Случайные события»

1. Случайные события и действия над ними.

Пусть   непустое множество, элементы которого будем называть элементарными исходами. Для любых подмножеств A и B в  используются следующие обозначения: (или A+B)объединение (или сумма) A и B (или AB)пересечение (или произведение) A и B A \ Bразность A и B обратное (дополнительное) множество, т.е. множество  \ A.

Для решения задач этого параграфа необходимо усвоить такие понятия как равносильность событий, объединение, пересечение, разность событий, противоположное событие, несовместные события.

Пример. Три стрелка производят по одному выстрелу по мишени. Событие А – первый стрелок попал в мишень, событие В – только один стрелок попал в мишень, событие С – хотя бы один из стрелков попал в мишень. Описать события: А∩В; UС; В∩С; .

Решение: Событие А∩В заключается в том, что произошли оба события. Но так как событие А влечет за собой событие B, то А∩В = А. Событие UС есть достоверное событие. Это следует, например, из цепочки равенств:

UС =U(АUС) = (АU)UС = ΩUС = Ω.

Событие В∩С = В, так как событие В влечет за собой событие С. Событие означает, что или ни один из стрелков не попал в мишень, или хотя бы два стрелка попали в мишень.

Варианты задания №1

1. Бросаются два игральных кубика. Пусть А – событие, состоящее в том, что сумма очков нечетная, В– событие, состоящее в том, что хотя бы на одной из костей выпала единица. Описать события АUВ, А∩В, ∩В.

2. На доске записано несколько натуральных чисел. Пусть событие А – все записанные числа – четные, событие В – среди них имеется одно нечетное. Описать события , , А \ , А∩.

3. Событие А – хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный, В – все приборы доброкачественные. Что означают события А \ В, А∩, АU?

4. Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие B – данное число оканчивается нулем, событие A – выбранное число делится на 5. Что означают события А \ В, А∩В ?

5. Монета бросается три раза. Описать пространство элементарных событий. Описать события: А – выпало не менее двух гербов; В – выпало два герба.

6. Монета бросается два раза. Описать пространство элементарных событий. Пусть А и В означают соответственно события: при первом бросании выпал герб и при втором бросании выпал герб. Описать события АUВ, А∩В, А \ В.

7. Из колоды карт случайным образом извлекается одна карта. Пусть событие А – извлеченная карта пиковой масти, событие В – извлеченная карта туз пик, событие С – извлеченная карта – туз червей. Описать события АUВ, А∩В, АUС, В∩С.

8. Из чисел 0,1,….,9 случайным образом выбирается одно число. Пусть событие А – выбранное число – нечетное, событие В – выбранное число – девять. Описать события: АUВ, А∩В, А \ В.

9. Бросаются две игральные кости. Пусть А – событие, состоящее в том, что хотя бы на одной из костей выпадет 6 очков; B – событие, состоящее в том, что сумма очков нечетна. Описать события АUB, А∩B, АU.

10. Событие А – «мужу больше 40 лет», событие В – «муж старше жены», событие С – «жене больше 40 лет». Что означает событие А∩В, А∩, А \ (В∩С)?

11. Игральный кубик подбрасывается дважды. Описать пространство элементарных событий. Описать события: А – сумма очков, которые выпали, равна 8; В – хотя бы один раз выпало 6 очков.

12. Среди всех семей, имеющих двух детей, выбрана одна. Описать пространство элементарных событий и события: А – в семье есть мальчик и девочка, В – в семье не более одной девочки. Доказать, что события А и В зависимы.

13. Cреди всех семей, имеющих трех детей, выбрана одна. Описать пространство элементарных событий и события: А – в семье есть мальчик и девочка, В – в семье не более одного мальчика. Доказать, что события А и В зависимы.

14. Игральный кубик подбрасывается дважды. Описать пространство элементарных событий. Пусть событие А – на одном из кубиков выпало 6 очков, событие В – сумма выпавших очков равна 10. Описать события: АUВ, А∩В, А \ В.

15. Бросается игральная кость. Пусть событие А – выпадает четное число очков, событие В – выпадает число очков не большее трех. Описать события: АUВ, А∩В, А \ В, ∩В.

16. Произведено три выстрела по мишени. Описать пространство элементарных событий. Пусть событие А – мишень поражена хотя бы один раз, событие В – мишень поражена два раза. Описать события: АUВ, А∩В, А \ В, UВ.

17. Бросаются две игральные кости. Пусть А – событие, состоящее в том, что на одной из костей выпала единица, В – сумма выпавших очков – четная. Описать события: А∩В, А \ В, В \ А.