Глава 24. Приведение уравнения центральной линии второго порядка к простейшему виду

673

Определить тип каждого из следующих уравнений; каждое из них путем параллельного переноса осей координат привести к простейшему виду; установить, какие геометрические образы они определяют, и изобразить на чертеже расположение этих образов относительно старых и новых осей координат:;

673.1

673.2

;

673.3

;

673.4

;

673.5

.

674

Каждое из следующих уравнений привести к простейшему виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометрические образы они определяют, и изобразить на чертеже расположение этих образов отноительно старых и новых осей координат:

674.1

;

674.2

;

674.3

;

674.4

;

674.5

.

675

Определить тип каждого из следующих уравнений при помощи вычисления дискриминанта старших членов:

675.1

;

675.2

;

675.3

;

675.4

;

675.5

;

675.6

.

676

Каждое из следующих уравнений привести к каноническому виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометрические образы они определяют; для каждого случая изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы; оси других координатных систем, которые вводятся по ходу решению, и геометрический образ, определяемый данным уравнением:

676.1

;

676.2

;

676.3

 ;

676.4

;

676.5

:

676.6

 .

677

То же задание, что и в предыдущей задаче, выполнить для уравнений:

677.1

;

677.2

;

677.3

;

677.4

;

677.5

;

677.6

;

677.7

;

677.8

.

678

Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти величины его полуосей:

678.1

;

678.2

;

678.3

;

678.4

.

679

Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет единственную точку (вырожденный эллипс), и найти ее координаты:

679.1

;

679.2

;

679.3

;

679.4

.

680

Не проводя преобразований координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти величины ее полуосей:

680.1

;

680.2

 ;

680.3

;

680.4

.

681

Не проводя преобразований координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет пару пересекающихся прямых (вырожденную гиперболу), и найти их уравнения:

681.1

;

681.2

;

681.3

;

681.4

.

682

Не проводя преобразования координат, установить, какие геометрические образы определяются следующими уравнениями:

682.1

:

682.2

;

682.3

;

682.4

;

682.5

.

683

Для любого эллиптического уравнения доказать, что ни один из коэффициентов А и С не может обращаться в нуль и что они суть числа одного знака.

684

Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени (>0) определяет эллипс в том и тольк в том случае, когда А и суть числа разных знаков.

685

Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени (>0) является уравнением мнимого эллипса в том и только в том случае, когда А и суть числа одинаковых знаков.

686

Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени (>0) определяет вырожденный эллипс (точку) в том и только в том случае, когда =0.

687

Доказать, что гиперболическое уравнение второй степени (<0) определяет гиперболу в том и только в том случае, когда .

688

Доказать, что гиперболическое уравнение второй степени (<0) определяет вырожденную гиперболу (пару пересекающихся прямых) в том и только в том случае, когда =0.