Показники надійності відновлюваних систем.

Теорія надійності відновлювальних систем базується на понятті потоку випадкових подій, якими служать відмови системи.

Якщо нехтувати періодом відновлення(ремонту) системи після кожної відмови, то отриманий потік випадкових подій є потоком відмов – послідовністю відмов які відбуваються в випадкові моменти часу.

Є 2 способи задання потоку відмов (Рис.1):

1. Потік задається дискретним випадковим процесом, в якому - кількість відмов на деякому проміжку часу (0-t).

2. Потік задається послідовністю неперервних випадкових величин – напрацювань між відмовами.

, ......

Потік відмов називається стаціонарними, коли кількість відмов на заданому проміжку часу (a, a+t_n) залежить тільки від довжини цих відрізків і не злежить від вибору початку відліку. Ймовірність появи однакової кількості відмов на однакових інтервалах часу - однакова.

Потік відмов називається ординарним, коли ймовірність двох чи більше відмов за проміжок часу дуже мала в порівнянні з появою однієї відмови:

(12)

q(2,t) – ймовірність виникнення двох відмов за проміжок часу t.

Рекурентним потоком відмов(потік відмов з обмеженою післядією) називається потік, коли інтервали часу Т_1, Т_{2, ....,} Т_n між послідовними відмовами є незалежними, однаково розподіленими випадковими величинами. Такий потік називається процесом відновлення.

Потоком без наслідків називається такий потік, коли ймовірність появи n відмов на любому проміжку часу не залежить від того, чи відбувались або не відбувались відмови за інші непересічні з ним проміжки часу.

Ведучою функцією потоку є математичне сподівання кількості відмов за час t:

, (13)

параметр потоку відмов(інтенсивність потоку) – середнє число відмов за одиницю часу:

(14)

Потік, який є стаціонарним, ординарним і без наслідків називається Пуассонівським, або найпростішим. Ймовірність виникнення n відмов в цьому потоці визначається розподілом Пуассона:

, (15)

де – інтенсивність потоку відмов. розподіл Пуассона часто використовується в теорії надійності відновлюваних систем.

Тоді математичне сподівання кількості відмов за час t - =, ймовірність безвідмовної роботи системи, коли n=0 - .

Альтернуючим процесом відновлення називається потік відмов з врахуванням часу відновлення Т_в , якщо напрацювання однаково розподілені і не залежать один від одного і від величини Т_в. В цьому випадку середнє напрацювання між відмовами в процесі відновлення , тобто рівне середньому напрацюванню до відмови.

• Показники довговічності

Строк служби системи – випадкова величини Тс, календарна тривалість від початку експлуатації до переходу в граничний стан.

Середній строк служби – математичне очікування випадкової величини Тс :

. (16).

Гамма процентний строк служби - календарна тривалість від початку експлуатації системи, на протязі якої система не досягає граничного стану з заданою ймовірністю , вираженою в процентах.

.

Встановлений строк служби – строк служби, якого повинна досягати кожна система, і відповідно , при =100%.

Ресурс – напрацювання від початку експлуатації до переходу в граничний стан .

Лекція 3. Математичне моделювання ОГАЛС

(однопотокових гнучких автоматизованих ліній складання)

Моделювання ОГАЛС є аналітично - ймовірнісним і зводиться до розрахунку ймовірності безвідмовної роботи лінії і продуктивності лінії. Розглянемо структурну схему ОГАЛС:

Візьмемо до розгляду основну і спряжену ділянки ГАЛС:

Д ля розрахунку ГАЛС зручно використовувати розмічені графи станів основної і спряженої ділянок ГАЛС:

Можливі стани основної ділянки:

1. S_k0 – k-а складальна комірка працездатна, k-й накопичувач працездатний(приймає касети), ділянка працює.

2. S_k1 – k-а складальна комірка непрацездатна, k-й накопичувач працездатний і в ньому є вільні місця, тобто (М_k>L_k), де під М_k розуміється кількість місць у k-му накопичувачі, а під L_k – число касет, або середнє число касет у k-му накопичувачі. У даній ситуації доти, поки накопичувач не заповниться цілком, у нас немає потреби зупиняти лінію і є деякий резерв часу для ремонту k-го технологічного комплексу без зупинки лінії, ділянка працездатна.

3. S_k2 – k-а складальна комірка непрацездатна, k-й накопичувач працездатний, але в ньому немає вільних місць, тобто (М_k=L_k). У цьому випадку стан ділянки відмовний.

4. S_k3 – k-а складальна комірка працездатна, k-й накопичувач непрацездатний. У цьому випадку стан ділянки також відмовний.

Ймовірність одночасної відмови комірки і накопичувача мала і нею нехтують.

Введемо слідуючі поняття:

_k01 – інтенсивність потоку відмов k-ї КС; _k01=1/t, де t – cередній час між двома відмовами k-ї КС. Ясно, що чим менша величина _k01, тим надійніше працює k-а КС, і в цьому розумінні _k01 – характеристика надійності КС;

_{k10 =}_k20 – інтенсивність потоку відновлень k-ї КС; _k10=1/g, де g – середній час відновлення (ремонту) k-ї КС. Ясно, що більше значення _k10 свідчить про вищу ремонтопридатність;

_k12 – інтенсивність припинення роботи k-го накопичувача при його наповненні з стану S_k1 в стан S_k2 (переповнювання).

_k03 – інтенсивність потоку відмов k-го накопичувача – характеристика надійності накопичувача;

_k03 – інтенсивність потоку відновлення k-го накопичувача, характеристика ремонтопридатності накопичувача.

Вважається, що в системі діють Пуассонівські потоки відмов і потоки відновлення підпорядковується експоненціальному закону. В цьому випадку фінальні ймовірності вказаних станів S_k0, S_k1, S_k2, S_k3 можна визначити за наступними формулами:

;

;

;

.

Ймовірність того, що дана ділянка приймає касети в свій накопичувач, тобто вона важається працездатною:

Відповідно можливі стани спряженої ділянки:

1. _k0 – (k-1)-а складальна комірка працездатна, k - й накопичувач працездатний (видає касети), ділянка працює.

2. _k1 – (k-1)-а складальна комірка непрацездатна, k-й накопичувач працездатний і в ньому є касети, тобто (L_k>0), ділянка працездатна.

3. _k2 – (k-1)-а складальна комірка непрацездатна, k-й накопичувач працездатний, але в ньому немає касет (Lk=0), стан ділянки відмовний.

4. _k3 – (k-1)-а складальна комірка працездатна, k-й накопичувач непрацездатний, стан ділянки також відмовний.

Інтенсивності потоків подій в графі спряженої ділянки:

_k01 – інтенсивність потоку відмов (k-1)-ї КС.

_k10 – інтенсивність потоку відновлень (k-1)-ї КС;

_k12–інтенсивність припинення роботи (k-1)-го накопичувача при його повному розвантаженні.

В цьому випадку фінальні ймовірності , , , станів , , , розраховуються як і в попередньому випадку, але замість _k01 , , підставляють _k01 , _k10 , _k12.

Ймовірність того, що спряжена ділянка лінії видає касети:

.

Для розрахунку треба визначити інтенсивності потоків припинення роботи k-го накопичувача _k12 і .

Для цього визначаємо інтенсивність потоку надходження заявок, які формуються (k-1) –ю КС:

,

і інтенсивність потоку їх обслуговування k-ю КС:

,

де - максимальний їз середніх часів обслуговування на КС з 1-ї по (k-1) - у, - - максимальний їз середніх часів обслуговування на КС з k-ї по n-у.

Середнє число заявок в черзі, або к-сть касет k-му накопичувачі:

,

де - кількість місць в k-мунакопичувачі і

.

Знайдемо середній час розвантаження накопичувача

,

звідси: .

Середній час повного заповнення накопичувача

,

звідси .

Знаючи інтенсивності потоків відмов k-го накопичувача _k12 і можна розраховувати ймовірності того, що спряжена ділянка видає, а основна приймає касети . На цьому ітерація завершується.

На першій ітерації приймаємо рівними одиниці. Ітерації продовжуються поки , наперед визначене, і- номер ітерації.

Визначаємо ймовірність безвідмовної роботи всієї лінії, готовність лінії видавати касети:

.

Продуктивність ОГАЛС:

,

де - середній час обслуговування касети(такт) на КС з мінімальною продуктивністю, при повністю справній лінії.

В моделі припускається, що лінія постійно підживлюється касетами, а з її виходу касети постійно забираються. Крім того, вважається, що час спрацьовування накоплювача включається в час обслуговування касети на КС, а сам накопичувач спрацьовує миттєво.

Л4. Математичне моделювання БГАЛС

(багатопотокових гнучких автоматизованих ліній складання)

Структурний аналіз БГАЛС

І єрархічна структура БГАЛС складається з вузлів, віток і ділянок віток(ділянок). Структурна схема БГАЛС зображена на рис.1.

Основні визначення структурних частин БГАЛС:

• вузлова КС – КС до якої сходяться декілька вхідних потоків касет з деталями з наступним складанням на ній цих деталей в вузли чи підвузли. Вихідний потік з вузлової КС може формуватись при умову поступлення на неї деталей по всіх входах. і при справності самої СК;

• вітка – частина БГАЛС, яка складається з послідовно з’єднаних через накопичувачі КС. Вітка може знаходитись між вузлами, між входом і вузлом , між вузлом і виходом. В подальшому вітки розглядаються як ОГАЛС. Вітки бувають вхідні, проміжні, вихідні.

Типи віток (ОГАЛС):

Спряжена вхідна – вітка між вхідною і вузловою КС в яку вузлова КС не входить.

Основна вхідна – вітка між вхідною і вузловою КС в яку входить вузлова і не входить вхідна КС.

Повна вхідна - вітка між вхідною і вузловою КС в яку входить вузлова і вхідна КС.

Проміжна вітка – вітка між двома вузловими КС (вузловою КС ближче до входу і вузловою КС ближче до виходу ).

Означення спряженої проміжної ,основної проміжної, повної проміжної аналогічні означенням вхідної вітки.

По аналогії з вхідною і проміжною віткою даються означення спряженої вихідної, основної вихідної, повної вихідної віток.

Вузол – частина БГАЛС, яка складається з вузлової КС і спряжених вхідних і спряжених проміжних віток, котрі підходять до неї. У вихідний вузол входить основна вихідна вітка.

Означення основної і спряженої ділянок подані в попередній лекції.

При розрахунку БГАЛС використовується метод вкладених ітерацій: зовнішня ітерація - між вузлами, проміжна – між вітками, внутрішня – між ділянками. Вважається, що всі потоки відмов елементів системи – найпростіший, а час їх відновлення розподілений по експоненціальному закону.

Ц ентральним питанням при розрахунку БГАЛС є визначення середньостатистичних заділів (довжин черг в міжопераційних накопичувачах). Складність такої задачі полягає в тому, що довжини черг в міжопераційних накопичувачах залежать не тільки від надійності роботи і продуктивності всіх КС систами, а і від довжин черг в міжопераційних накопичувачах всіх КС.

Розглянемо структурну схему вузла БГАЛС (рис.2).

Для здійснення зовнішніх ітерацій використовуються наступні параметри вузлів:

Коефіцієнт готовності вузла до видачі касет - ймовірність того, що вузол готовий видавати касети:

, (4.1)

де N=m+1 – к-сть віток вузла; - коефіцієнт готовності спряженої g –ї вітки до видачі касет; - коефіцієнт готовності до видачі касет повної вихідної вітки.

, (4.2)

, (4.3)

де , - коефіцієнти готовності спряжених і- х ділянок g – ї і N – ї віток, включаючи (і-1) – у КС і і –й накопичувач. Визначення цих коефіцієнті розглянуто в попередній лекції Л3; і - інтенсивності потоків відмов і відновлень КС.

Якщо вузол не останній, або БГАЛС закінчується КС, то

(4.4)

Коефіцієнт готовності вузла МГАЛС до прийому касет по повному -му входу – це ймовірність того, що вузол готовий приймати касети по -му входу і визначається як добуток коефіцієнта готовності повної вітки і основної m+1 – ї вітки до прийому касет і коефіцієнтів готовності до видачі касет всіх спряжених віток:

, (4.5)

де - коефіцієнт готовності повної вітки g до прийому касет; - - коефіцієнт готовності основної вітки m+1 до прийому касет; - коефіцієнт готовності спряженої вітки до видачі касет, визначається за формулою (1.8).

Коефіцієнти готовності до прийому касет повної вітки g і основної N чи (m+1) визначаються за формулами:

, (4.6)

, (4.7)

де і - коефіцієнти готовності основних ділянок g – ї і N – ї віток; і - інтенсивності потоків відмов і відновлень 1-ї КС g – ї повної вітки.

Також використовують такий параметр вузла як коефіцієнт готовності вузла до прийому касет по g – му основному входу:

, (4.8)

. (4.9)

Час обслуговування касет у вузлі визначається як максимальний з часів обслуговування на КС вузла. При розбивці МГАЛС на вузли слід враховувати, що вузлова КС попереднього вузла є першою КС однієї з вхідних віток до якої вона пристикована, наступного вузла.

Лекція 5. Математичне моделювання БГАЛС