Типовой расчет №2
Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
Типовые примеры.
Задание 1.
Коллинеарны ли векторы , построенные по векторам
={4; 0; 4}, {-1; 3; 2}
Решение: При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число
Найдем координаты векторов , , , .
,= {12; 0; 12}
={-9; 27; 18}
={8; 0; 8}
={1; -3;-2}
При сложении векторов их координаты складываются Таким образом, получим
Два вектора коллинеарны в том и только том случае, когда один из них может быть получен
умножением другого на некоторое число:
Векторное равенство
равносильно трем числовым
или
, следовательно, векторы неколлинеарны
Задание 2
Найти косинус угла между векторами , если заданы координат точек
Решение
Косинус угламежду векторами определяется формулой
где -скалярное произведение векторов
-длины векторов
Найдем координаты векторов
Тогда
Задание 3
Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках
и его высоту, опущенную из вершины на
Решение: известно, что
Vтетр =
Находим:
Так как
то V= куб.ед.
С другой стороны, объем тетраэдра равен V=H, где
-площадь грани ,
H-длина высоты, опущенной из вершины на грань
=Находим
Окончательно имеем:
=кв.ед.
Задание 4.
Структурная матрица торговли трех стран S1, S2, S3 имеет вид:
.
Найти соотношение национальных доходов стран для сбалансированной торговли.
Решение:
Находим собственный вектор , отвечающий собственному значению , решив уравнение =0 или систему
= методом Гаусса. Найдем , ,, т.е.. Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при соотношении национальных доходов стран .
Задание 5
Даны две последовательные вершины ромба АВСD и точка пересечения
его диагоналей О
Найти :
-
Длину и уравнение стороны CD
-
Уравнение высоты, проведенной из вершины В
-
Внутренний угол при вершине А
-
Площадь ромба
Решение.
Известно, что точка пересечения диагоналей ромба делит эти диагонали пополам. Найдем
координаты точек С и D, воспользовавшись формулами для координат середины отрезка.
Следовательно:
-
Длина стороны CD=
Прямая CD проходит через две заданные точки, её уравнение имеет вид
CD: 5х-y-19=0-уравнение стороны CD
-
Угловой коэффициент прямой CD
КCD=из условия перпендикулярности прямых ВК и CD КВК=
Уравнение высоты имеет вид
-
Угловой коэффициент прямой AD
К1=
Угловой коэффициент прямой АВ:
К2=
tg
-
Площадь ромба S=,где d1 и d2 –диагонали ромба.
Найдем длины диагоналей ромба.
d1=AC=
d2=BD=
S1=ед.
Задание 6
Даны четыре точки . Составить уравнения:
-
Плоскости
-
Прямой
-
Прямой , перпендикулярной к плоскости
-
Прямой , параллельно прямой
-
Плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору
-
Найти косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью
-
Решение :
Используя формулу:
Составляем уравнение плоскости
Раскрыв данный определить по элементам первой строки, придем к уравнению
6х - 7y - 9z + 97=0;
-
Учитывая уравнения прямой, проходящей через две точки
, уравнение прямой можно записать в виде
-
Из условия перпендикулярности прямой и плоскости следует,
что в качестве направляющего вектора прямой S можно взять нормальный вектор
плоскости
Тогда уравнение прямой М с учетом уравнений
запишется в виде
-
Так как прямая параллельна прямой , то их направляющие векторы
и можно считать совпадающими:
= =
Следовательно уравнение прямой параллельной прямой имеет вид
-
Если плоскость проходит через точку М0и перпендикулярна к вектору
, то её уравнение записывается в виде
Подставляя в это уравнение вместо х0, y0, z0 координаты точки , а вместо А, В, С
координаты вектора
получим уравнение искомой плоскости
-
Величина угла между плоскостями
А1х + В1y + C1z + D1=0 и А2х + В2y + C2z + D2=0
вычисляется на основании формулы:
cos
ЗАДАЧИ