Домашняя самостоятельная работа №5 «Сложные суждения. Построение таблиц истинности сложных суждений»

Задание №1. Пусть а есть высказывание «9 — четное число» и b — вы­сказывание «9 — нечетное число». Определите значения истин­ности следующих высказываний:

а) а¬b, д) ¬a¬b, и) ¬a¬b, н) ¬ (аb),

б) bа, е) ¬bа, к) ¬ab, о) ¬ (¬аb),

в) а ¬Ь, ж) ¬b¬a, л) а¬b, п) ¬ (а¬b),

г) ¬а6, з) аb, м) ¬ (аb), р) ¬ (¬а¬b).

(максимальное количество баллов - 16)

Задание №2. Используя таблицы истинности для логических связок, определите истинностное значение приведенных сложных выска­зываний, предполагая, что а — истинное высказывание:

а) а \/ а, е) а & ¬а,

б) а & а, ж) ¬ (аа),

в) аа, з) ¬ (а \/¬а),

г) aа, и) ¬ (а & ¬а),

д) а \/ ¬а, к) а ¬¬а.

(максимальное количество баллов - 10)

Задание №2. Укажите истинное значение приведенных в предыду­щем примере сложных высказываний, предполагая, что а — ложное высказывание.

(максимальное количество баллов - 10)

Задание №3. Определите с помощью таблиц истинности, какие из приведенных формул являются тавтологиями:

а) (ab) (ba), з) (аb) ¬ (a & ¬b),

б) (а &b) (b&а), и) (а \/ b) (¬аb),

в) (аb) (bа), к) (a \/ b) ¬ (¬а & ¬b),

г) (аb)& ¬b¬a, л) (a & b) ¬ (¬а \/ ¬b) ,

д) (¬а¬b) (bа), м) (а & b) ¬ (а¬b),

e) (аb) & ab, н) (аb) &(ba) ¬ (ab)

ж) (аb) (¬ab),

(максимальное количество баллов -13)

Задание №4. Определите, какие из приведенных высказываний явля­ются тавтологиями:

а) Если Иванов здоров, то он здоров и богат.

б) Если Иванов здоров, то он здоров или богат.

в) Если Иванов здоров и богат, то он здоров.

г) Если Иванов здоров или богат, то он здоров.

д) Неверно, что число делится на 2 и на 3, только если оно не делится на 2 или не делится на 3.

е) Неверно, что число является простым или четным, если и только если оно не является простым и не является четным.

(максимальное количество баллов - 6)

Задание №5. Определите, какие из приведенных высказываний логически следуют из высказывания «5 больше 3»:

а) 5 больше 3 или 3 больше 5.

б) Если 5 меньше 3, то 5 больше 3.

в) Если Париж расположен на Темзе, то 5 больше 3.

г) Неверно, что 5 больше 3 и вместе с тем 5 равно 3.

(максимальное количество баллов - 4)

Тема 4 (продолжение)

Информационный материал

Сложное высказывание будем назвать тождественно истинным или тавтологией, если оно принимает значение истины для всех наборов значений входящих в него простых высказываний.

Два сложных высказывания будем называть равносильными, если их значения совпадают при одних и тех же наборах значений входящих в них простых высказываний.

Доказательство приведенных ниже основных равносильностей алгебры высказываний выполняется при помощи составления таблиц истинности.

1. Закон тождества: ;

2. Закон непротиворечия: ;

3. Закон исключенного третьего: ;

4. Закон двойного отрицания: ;

5. Законы ассоциативности: ;

6. Законы коммутативности: ;

7. Законы дистрибутивности:

8. Законы поглощения:

9. Законы де Моргана:

10. Связь конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицания: ;

11. :

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. Модусы (разновидности схемы утверждений): -утверждающий модус;

17. - отрицающий модус;

18. Отрицающе-утверждающий модус: ;

19. Законы транзитивности:

20. Законы контрапозиции:

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. Законы косвенного доказательства:

27. Законы Клавия:

В качестве примера докажем, что, например, формулы и являются тождественно истинными (тавтологиями), построив для их левых и правых частей таблицы истинности и используя табличные определения основных логических операций

1.

0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	0	0
1	0	1	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	0

В четвертом и седьмом столбцах полученной таблицы содержаться истинностные значения, соответствующие левой и правой частям рассматриваемой формулы, и принимаемые этими выражениями значения одинаковы для всех наборов простых переменных, входящих в состав сложного высказывания. Значит, данная формула является тавтологией.

2.

0	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	1	1	0	1

В третьем и пятом столбцах полученной таблицы содержатся истинностные значения, соответствующие левой и правой частям рассматриваемой формулы, и принимаемые этими выражениями значения одинаковы для всех наборов простых переменных, входящих в состав сложного высказывания. Значит, данная формула также является тавтологией.

Пример:

Определить с помощью таблиц истинности, является ли приведенная формула алгебры высказывание тавтологией

(а \/ b) (¬аb)

а	b	¬а	а+ b	¬ab	(а \/ b) (¬аb)
1	1	0	1	1	1
1	0	0	1	1	1
0	1	1	1	1	1
0	0	1	0	0	1

В последнем столбце построенной для данной формулы таблицы истинности при всех наборах значений переменных ходящих в нее простых высказываний получены только значения истины, следовательно, она является тавтологией.