1.3. Виды случайных событий. Основные теоремы теории вероятностей

Все случайные события можно разделить на:

• несовместные;

• независимые;

• зависимые.

Для каждого вида событий характерны свои особенности и теоремы теории вероятностей.

1.3.1. Несовместные случайные события. Теорема сложения вероятностей

Случайные события (А, В, С, D … ) называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример 1. Подброшена монета. При ее падении появление «герба» исключает появление «решки» (надписи, определяющей цену монеты). События «выпал герб» и «выпала решка» несовместные.

Пример 2. Получение студентом на одном экзамене оценки «2», или «3», или «4», или «5» – события несовместные, так как одна из этих оценок исключает другую на том же экзамене.

Для несовместных случайных событий выполняется теорема сложения вероятностей: вероятность появления одного, но все равно какого, из нескольких несовместных событий А₁, А_2, А₃ … А_k равна сумме их вероятностей:

Р(А₁или А₂ … или А_k) = Р(А₁) + Р(А₂) + …+ Р(А_k). (4)

Пример 3. В урне находится 50 шаров: 20 белых, 20 черных и 10 красных. Найдите вероятность появления белого (событие А) или красного шара (событие В), когда шар наугад достают из урны.

Решение: Р(А или В) = Р(А) + Р(В);

Р(А) = 20/50 = 0,4;

Р(В) = 10/50 = 0,2;

Р(А или В) = Р(б.ш. или к.ш.) = 0,4 + 0,2 = 0,6 = 60%.

Пример 4. В классе 40 детей. Из них в возрасте от 7 до 7,5 лет 8 мальчиков (А) и 10 девочек (В). Найдите вероятность присутствия в классе детей такого возраста.

Решение: Р(А) = 8/40 = 0,2; Р(В) = 10/40 = 0,25.

Р(А или В) = 0,2 + 0,25 = 0,45 = 45%

Следующее важное понятие – полная группа событий: несколько несовместных событий образуют полную группу событий, если в результате каждого испытания может появляться только одно из событий этой группы и никакое другое.

Пример 5. Стрелок произвел выстрел по мишени. Обязательно произойдет одно из следующих событий: попадание в «десятку», в «девятку», в «восьмерку»,.. ,в «единицу» или промах. Эти 11 несовместных событий образуют полную группу.

Пример 6. На экзамене в Вузе студент может получить одну из следующих четырех оценок: 2, 3, 4 или 5. Эти четыре несовместных события также образуют полную группу.

Если несовместные события А₁, А₂ … А_k образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий всегда равна единице:

Р(А₁) + Р(А₂)+ … Р(А_k) = 1, (5)

Это утверждение часто используется при решении многих прикладных задач.

Если два события единственно возможны и несовместны, то их называют противоположными и обозначают А и . Такие события составляют полную группу, поэтому сумма их вероятностей всегда равна единице:

Р(А) + Р() = 1. (6)

Пример 7. Пусть Р(А) – вероятность летального исхода при некотором заболевании; она известна и равна 2%. Тогда вероятность благополучного исхода при этом заболевании равна 98% (Р() = 1 – Р(А) = 0,98), так как Р(А) + Р() = 1.