В теории ошибок величину
S
=
(38)
называют
средней квадратичной ошибкой прямо
измеряемой величины х,
величину х
(см. (36)) – её абсолютной ошибкой, а
величину
=
100 % – относительной ошибкой, оценивающей
точность измерений.
При косвенных измерениях искомую величину Z вычисляют по некоторой формуле
Z = f(x, y),
где x и y – прямо измеряемые величины.
Число значений x и y, полученных при измерении каждого из них, равно n:
x1, х2, х3, …., хn ;
у1, у2, у3, … , уn.
Теперь можно найти их средние арифметические значения:
=
,
=
(39)
и средние квадратичные ошибки:
Sx
=
;
Sу
=
,
(40)
Среднее арифметическое значение косвенно измеряемой величины вычисляют по формуле
=
f(
).
(41)
Истинное значение Z – Zист. лежит в доверительном интервале:
– Z
< Zист.
<
+ Z
или Zист.=
± Z.
(3.7.5)
Полуширина данного интервала для нормально распределенной величины Z рассчитывается по формуле:
Z
= t,
n
.
(43)
В (43) средняя квадратичная ошибка Sz косвенно измеряемой величины, равна:
=
,
(44)
где
=Zx´
и
=Zy´
– частные производные величины Z=f(x,
y),
соответственно, по x
и по у,
вычисляемые при их средних значениях,
Sx
и
Sу
– средние квадртичные ошибки величин
х
и у,
значения которых получаются по формулам
(40).
Окончательный
результат обычно записывается в виде:
Zист.
=
Z,
с указанием выбранного значения .
Приводится так же относительная ошибка
косвенно измеряемой величины:
=
100 %.
Пример. Рассчитаем случайную ошибку при косвенном измерении вязкости жидкости:
=
0
,
где , , t – вязкость, плотность и время истечения исследуемой жидкости из капилляра вискозиметра; 0, 0, t0 – соответственно вязкость, плотность и время истечения эталонной жидкости (воды).
Величины 0, 0 и считаем точно известными, t и t0 измеряем секундомером, вязкость исследуемой жидкости – косвенно измеряемая величина.
1. Пять измерений времени истечения исследуемой жидкости и воды дали следующие результаты:
для исследуемой жидкости t= 79, 2с;80,4с;78,0с; 83,6с; 80,2 с;
для воды t0 = 51,0с; 48,4с; 50,6с; 47,4с; 44,2с.
2. Найдем по (39) средние арифметические значения t и t0:
=
= 80,28 с,
=
= 48,32 с.
Определим
по (41) среднее арифметическое значение
вязкости исследуемой жидкости при:
= 790
,
0
= 998,2
,
0
= 1,0
10-3
Па
с:
=
0
;
=
1,0
10-3
= 1,31
10-3
Па
с = 1,31 мПа
с.
3.Рассчитаем среднюю квадратичную ошибку вязкости по (44):
S
=
.
Для
этого по (40) определим средние квадратичные
ошибки времени истечения исследуемой
жидкости St
и воды
:
St
=
=2,09 с
=
= 2,75 с.
Найдем
частные производные
при t
=
и t0
=
0:
=
=
= 16,38
10-6
Па ,
=
-
= –
= -27,21
10-6
Па.
Тогда
S
=
=
82,2
10-6
Па
с.
4. Определим полуширину доверительного интервала или абсолютную ошибку вязкости по (43). Для этого, приняв доверительную вероятность = 0,95, и, зная число измерений непосредственно определяемых величин (n = 5), найдем коэффициент Стьюдента, [cм. табл., напр. в (4, 9)], t, n = 2,78, тогда:
=
2,78
= 0,1
10-3
Па
с = 0,1 мПа
с.
Следовательно, с доверительной вероятностью = 0,95 = 95% истинное значение вязкости исследуемой жидкости лежит в интервале
η
=
= (1,31
0,1)
10-3
Па
с = (1,31
0,1) мПа
с.
Относительная ошибка равна
=
100 % =
7,6 %