Нечеткие понятия и расплывчатые алгоритмы

Приведем начало статьи Л. А. Заде [1966], в которой весьма четко охарактеризована суть предлагаемого подхода. «В теории информации, как во многих других областях науки, неточность и неопределенность обычно вводятся с помощью понятий и методов теории вероятностей. Подчеркивание роли теорий вероятностей при изучении этих вопросов затемняет то, что во многих ситуациях источником неточности является вовсе не наличие каких-то случайных величин, а появление в рассматриваемой задаче какого-то класса или классов, не имеющих строго определенных границ. В качестве примера класса такого рода можно привести «класс» всех действительных чисел, намного превосходящих 10, который, очевидно, не является точно заданным множеством. То же самое можно

222

сказать о «Классе» рукописных изображений буквы А, «классе» умных людей, «классе» систем, приблизительно эквивалентных некоторой заданной системе и т. д. На самом деле, тщательный анализ показывает, что большинство классов объектов, с которыми приходится сталкиваться в реальном мире, являются классами именно такого нечеткого типа, т. е. классами, которые определены неточно. В этих случаях элемент может принадлежать или не принадлежать классу, но, кроме того, возможными являются также и промежуточные градации принадлежности; поэтому для описания степени принадлежности элемента классу здесь необходимо использовать многозначную логику — возможно даже с континуальным множеством значений истинности» [Заде Л. А., 1966, с. 37].

Теория алгоритмов, основанная па понятии «расплывчатого множества», естественным образом обнаруживает свою перспективность для уяснения логической природы многих рассматриваемых и применяемых в эмпирических науках, в приложениях кибернетики, в психологии и педагогике недетерминистских предписаний, так как «расплывчатый алгоритм» представляет собой, по-видимому, крайнюю — с точки зрения «неалгоритмичности» — форму тех градаций алгоритмичности, на противоположном полюсе которой находятся абсолютные детерминистские алгоритмы.

Свою концепцию «расплывчатого алгоритма» Л. Заде рассматривает как попытку указать возможный путь для полноправного введения в научный обиход некоторых типов неоднозначных предписаний. Эти предписания он формализует с помощью понятия расплывчатого алгоритма, покоящегося, в свою очередь, на развитой автором концепции расплывчатых множеств.

Л. А. Заде оперирует следующими примерами расплывчатых предписаний: (б) «Положить у приблизительно равным 10, если х приблизительно равно 5»; (в) «Если х велико, увеличить у на несколько единиц', если х мало, уменьшить у на несколько единиц;

в противном случае оставить у без изменения».

В этих предписаниях источник неоднозначности заключен в неопределенности, расплывчатости множеств (являющихся «подмножествами» множества Л действительных чисел) чисел, «приблизительно равных 10», «приблизительно равных о», «больших» и «маленьких» чисел, множества из «нескольких единиц». Чтобы как-то устранить связанную с ними неоднозначность, Заде предлагает использовать некий вариант многозначной (в общем случае — бесконечнозначной) логики. Основным понятием здесь является понятие о функции членства, с помощью которой задается расплывчатое множество. Функция членства определена на элементах некоторой совокупности и служит для выделения в ней соответствующего нечеткого класса путем отнесения каждому из элементов некоторого числа из интервала [0, I], характеризующего «степень принадлежности элемента совокупности задаваемому нечеткому классу». Чем ближе значение функции членства к единице, тем больше степень принадлежности элемента

223

к рассматриваемому нечеткому классу; наоборот, чем меньше это значение, тем меньше степень принадлежности.

Пусть, например, Араспл — нечеткое множество «чисел, приблизительно равных 5» (выделяемых из области всех действительных чисел). Заметим сразу же—и будем этого в дальнейшем придерживаться,— что вместо нечеткого множества можно (что не менее естественно) говорить о нечетком свойстве (нечетком понятии о свойстве, или о понятии о нечетком свойстве) и, более общее, о нечетких предикатах (свойствах и отношениях). Если Араспл — нечеткий класс, то ему соответствует нечеткий предикат Араспп (ж) ^в. Обозначив, вслед за Заде, функцию членства через ц, мы будем иметь (») цА распл (ж) ^а-еА распл,

о/ причем выражение жеА распл является выражением многозначной

либо бесконечнозначной логики — выражением, принимающим какие-то значения из интервала [0,1] рациональных или действительных чисел или же все значения из этого интервала. Если бы эти значения были только значениями 0 («ложь») и 1 («истина»), то наш предикат (множество), обратился бы в обычный предикат (обычное «жесткое» множество),—предикат двузначной логики.

В записи (*) предполагалось, что Араспл — расплывчатое множество (и, соответственно, Араспл (ж) — расплывчатый одноместный предикат). Однако этого можно и не предполагать, записывая \лА (х) =х<=А и предполагая, что А может быть как нечетким, так и четким множеством (соответственно, А (х) — как двузначным, принимающим значения из множества {0, 1}, так и многозначным или бесконечнозначным — допускающим какие-то либо все значения от 0 до 1 — предикатом). Каким на самом деле является А — это определяется видом функции (а, которая должна быть задана. По функции ц видно, с каким предикатом (множеством) мы имеем дело—подчиняющимся обычной («жесткой», двузначной) логике или требующим многозначной или бесконечнозначной («расплывчатой») логики.

Заде сформулировал основные понятия теории нечетких множеств, определив, в частности, отношения равенства и включения двух нечетких множеств, а также операции дополнения нечеткого множества, объединения и пересечения двух нечетких множеств. Например, операция объединения множества Араспя и Драспл определяется как порождение такого множества (А Ц5) распл, которое является минимальным среди всех расплывчатых множеств, содержащих в себе как Араспл, так и 5распл. Это определение — обобщение известного определения операции объединения обыч-

^в Нечеткое множество (нечеткий класс) можно назвать объемом нечеткого понятия. В каком смысле данное понятие является обобщением понятия объема «жесткого» одноместного предиката — это зависит от того, как производится уточнение логики, связываемой с нечеткими множествами.

224

ных классов как взятия их точной верхней грани: функция членства множества (А и5) распл имеет вид: [л(А^В) (а;)=шах[иА(а;), [лВ(х) } (мы опустили обозначение «распл» при А и В). Например, если р,А (ж) и \лВ (х) принимают для некоторого х значения, соответственно, 0,5 и 0,7, то р,(Аи5) (х) примет для этого х значение 0,7.

Аналогично, операция пересечения двух нечетких множеств определяется как взятие их точной нижней грани. Дополнение Араспл к нечеткому множеству Араспл определяется как такое множество, функция принадлежности к которому цА^аспл ==

⁼⁼!1^-А распл \Х) •

Эти определения, а также определение включения одного расплывчатого множества в другое (А<=В тогда, и только тогда, когда для любого х ^А(а:)^ц5(а;), где Л (ж), В (х) —нечеткие предикаты с объемами, соответственно, А и 5), определяют характер логики расплывчатых понятий. Эту логику можно, впрочем, уточнять по-разному. Можно, вслед за Заде (2ас1еп Ь. А., 1965, р. 342) исходить из той идеи, что для любого расплывчатого класса А естественно различать ситуации, когда имеет силу высказывание х^А («ж принадлежит А»), когда имеет силу высказывание хфа («х не принадлежит А») и когда не имеет силы ни то, ни другое высказывание. Тогда можно принять, что: ж^А, если \лА(х)^а (случай г); х<^А, если цА (ж)^ (случай и); и отношение х к А не определено, если ^<[лА{х) и {лА{х)<а (здесь а и ^ — действительные числа; 0<а<1; 0<^<1; ^<а) (случай Ш).

Этим определениям соответствует известная трехзначная логика Я. Лукасевича [1920]—исторически первая система многозначной логики, в которой кроме «истины» (1) и «лжи» (0) в качестве истинностного значения использовалась «неопределенность» (Уз). (Сам Заде ссылается не на Лукасевича, а на С. К. Клини — на трехзначную логику, использованную этим автором в работе 1938 г.; эта логика изложена также в книге [С. К. Клини, 1957]; как известно, однако, она совпадает с логикой Лукасевича). А именно, можно принять, что высказывание вида х^=А распл принимает значение «истина», если для него имеет место случай I, «ложь» — если случай и, «неопределенность»,— если случай Ш, считая, как обычно, выделенным значением истинность. Впрочем, в роли логики высказываний, кладущейся в основу логики расплывчатых понятий, можно использовать и другие пропозициональные построения, в частности, в бесконечнозначной логике. Последнее решение более соответствует духу концепции расплывчатого множества. Подходить здесь можно по-разному. Так, в качестве значений истинности можно взять все действительные числа от 0 до 1, за исключением числа Уг; выделенными значениями считать числа, большие, чем Уг; операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания определить, в соответствии с теорией нечетких классов Заде, как: асёй=т№(а, Ь), а\/Ь=тах(а, Ь), ""^^—^(здесь а, Ь — произвольные высказывания, представленные своими истинностными значениями). Нетрудно показать, что в этом случае мы получим бесконечнозначную логику, правила которой полностью повторяют правила классической двузначной логики (если строить последнюю, скажем, как исчисление естественного вывода).

Последнее обстоятельство весьма примечательно. Получается, что правила обращения с нечеткими понятиями могут быть такими же, как и с четкими. В этом, по-видимому, следует видеть объяснение того, что в логике не было потребности особо исследовать нечеткие понятия; задача их изучения пришла из кибернетики,— и это несмотря на то, что в логике был фактически разработан потребный для этого аппарат.

В самом деле, с логической точки зрения исходный пункт теории Заде вряд ли можно считать вносящими принципиально новое. Во всяком случае, его теория расплывчатых классов может быть погружена в булеву алгебру. В известном руководстве П. С. Новикова по математической логике [Новиков П. С., 1959, с. 47] мы находим интерпретацию булевой алгебры, весьма напоминающую построение Заде.

Вообще, в теории многозначных и бесконечнозначных логик как логик со значениями в топологическом пространстве [см.: Кейслер Г. Дж, Чан Чень-чунь, 1971] мы находим богатый арсенал логических средств выражения «расплывчатости» и «неопределенности». В чем же тогда интерес построения Заде? В том, что в нем «логика расплывчатости» была поставлена в четкую связь с проблемой абстракции и с теорией алгоритмов. Последнее обстоятельство нас здесь и интересует.

Вернемся к примерам расплывчатых предписаний, которыми оперирует Заде. С логической точки зрения они не являются ни высказываниями, ни формами высказываний. Это — повелительные предложения, точнее, формы повелительных предложений⁷.

Рассмотрим предложение (б). В нем фигурируют два расплывчатых множества: множество «чисел, приблизительно равных 5» (4°распл), и множество «чисел, приблизительно равных 10» (5°распл). Предложение это можно представить в виде: (б') «Если д'^Л°распл, то надлежит выбрать объект у<=Д°распл». Каждое применение этого предписания порождает пару значений (ж, у>. Множество всех таких пар (в нашем случае бесконечное) можно отождествить с некоторым бинарным отношением С°(х, у), определенным на прямом произведении ЛХН; множество это — расплывчатое (С°распл) и как таковое характеризуется уже двуместной функцией членства \иС° (ж, у):

^С°(х,у)=<х,у>еС\^

⁷ Здесь «форма повелительного предложения» рассматривается по аналогии с хорошо известным в логике понятием «формы высказывания».

где (ж, г/^С^распл есть выражение многозначной или беско-нечнозначной логики. Множества А°распл и 5°расдл, являющиеся проекциями множества С°распя на, соответственно, оси х и у (рис. 2а), Заде называет «тенРасплывчатость предписания (б) явственно обнаруживается при сравнении его со схоодержанию предписанием (а), сделанным в недетерминистской форме: «Если же [4,9;

5,1], то положить у равным какому-нибудь числу из интервала [9,9; 10,1]». Здесь нахождение х в интервале [4,9; 5,1] и выбор у из интервала [9,9; 10,1] никак не оцениваются. Оба интервала (назовем их, соответственно, А° и 5°) — обычные множества, являющиеся проекциями своего прямого произведения С° на оси х и у соответственно (рис. 26) ⁸. Еще более проста подобная «картинка» (см. рис. 2в) в случае детерминистского предписания:

«Положить у равным 10, если х равно 5».

Мы очертили только главные контуры теории расплывчатых множеств и алгоритмов. Но и сказанного достаточно для заключе-

⁸ Множество С° — множество пар <ж, у), возникающих в результате всех возможных недетерминистских выборов у для каждого х при применении данного предписания.

ния, что строгость теории нечетких алгоритмов находится на уровне строгости хорошо известных «классических» теорий (детерминистских) алгоритмов. Уже в статье 1965 г. [2ааеЬ Ь. А., 1965] Заде показал, что концепция расплывчатых алгоритмов может быть естественным образом сформулирована в терминах «расплывчатой машины Тьюринга» (показан принципиальный путь перехода от обычной машины Тьюринга к «недетерминистской машине Тьюринга» и от нее к «расплывчатой машине Тьюринга»), Развивая идеи Заде, Е. Сантос детально рассмотрел как нечеткие машины Тьюринга, так и нечеткие нормальные алгорифмы и показал, что эти два определения нечетких алгоритмов эквиваленты в некотором смысле [8ап1о8 Е. 8., 1970].