- •В.И. Королев, в.В. Сахаров, о.В. Шергина оценка параметров, моделирование динамических систем и электрических цепей в среде matlab
- •Санкт-Петербург
- •Рецензенты:
- •Isbn 5-88964-073-X © Королев в. И.,
- •Содержание
- •1. Идентификация параметров моделей систем на основе квадратичных методов оценивания………..……………………………………………………………........................... 11
- •Модели установившихся режимов в электрических цепях и
- •4. Модели пространства состояний в электрических цепях и
- •5. Системы и цепи под воздействием параметрических возмущений: численные и
- •6. Моделирование динамических систем и электрических цепей средствами
- •8. Моделирование технологических процессов в системах с помощью
- •Введение
- •Идентификация параметров моделей систем на основе квадратичных методов оценивания
- •Линейные модели систем Рассмотрим систему линейных уравнений
- •Рассмотрим линейное уравнение
- •Для существования точного решения уравнения (1.1) должно выполняться условие
- •1.2. Переопределенные системы уравнений. Метод наименьших квадратов
- •Введем векторы
- •1.3. Оценивание параметров периодических сигналов по экспериментальным данным
- •Таким образом, требуется оценить амплитуды и фазы
- •Разделив период t на 24 равных интервала, мы получим . Так как , то каждому будет соответствовать угол (в градусах).
- •1.4. Рекуррентный метод оценивания параметров моделей
- •1.5.Алгоритм оценивания параметров моделей в условиях ограничений
- •Минимальное значение (1.43) соответствует условию
- •1.6. Нормы оценивания параметров в теории инверсных систем
- •1.7. Оценивание параметров по критерию минимума среднего абсолютного значения остатков
- •Уравнение измерителя
- •1.8. Нелинейное оценивание параметров моделей в режиме прямых вычислений
- •1.9. Алгоритм ортогонализации в оценке параметров динамических систем
- •Рассмотрим нелинейную дискретную модель системы
- •2. Модели установившихся режимов в электрических цепях и системах
- •2.1. Пример модели цепи постоянного тока
- •Пример модели цепи переменного тока
- •2.3.Несимметричные режимы в трехфазных электрических цепях: метод симметричных составляющих
- •2.4. Модель многоузлового разветвления русла в стационарном режиме. Аналогии с электрической цепью
- •2.5. Модель твердого тела с двумя неподвижными точками
- •2.6. Многопродуктовая модель экономики: межотраслевой баланс
- •2.7. Модель оценки элементов матрицы преобразования
- •3. Динамические звенья и системы под воздействием гармонических сигналов
- •3.1.Построение частотных характеристик простых динамических звеньев
- •3.2.Резонанс в динамических системах
- •3.4. Резонанс в электрических цепях
- •3.4. Режим биений
- •4. Модели пространства состояний в электрических цепях и системах
- •4.1. Понятие состояния
- •4.2. Уравнения состояния для электрических цепей
- •4.3. Приведение к резистивной форме моделей электрических цепей с одним накопителем энергии
- •4.4. Определение коэффициентов дифференциальных уравнений моделей электрических цепей с двумя накопителями энергии
- •4.5. Электрическая цепь с четырьмя накопителями энергии
- •4.6. Примеры составления уравнений состояния rlc -цепей в матричной форме
- •Исходная цепь
- •Краткие сведения о решателях дифференциальных уравнений
- •5.2. Об аналитическом решении дифференциальных уравнений
- •5.3.Матричная форма решения уравнений состояния динамических систем
- •Моделирование динамических систем с двумя накопителями энергии при параметрических возмущениях Для определенности рассмотрим модель динамической системы с двумя накопителями энергии:
- •Моделирование –цепей. Аналитические решения
- •Сопротивления ,
- •Переходный процесс в -цепи под воздействием синусоидального входного сигнала
- •Системы, находящиеся под воздействием периодических сигналов прямоугольной формы
- •Динамические системы с двумя накопителями энергии
- •Корни комплексно-сопряженные.
- •Кратные корни.
- •Вещественные неравные корни
- •Динамические системы с тремя накопителями энергии
- •6. Моделирование динамических систем и электрических цепей средствами символьной математики
- •6.1. Символьные выражения и алгебра
- •6.2. Алгебраические и трансцендентные уравнения. Расчет цепи постоянного тока
- •Символьной алгебры
- •6.3. Символьное дифференцирование и интегрирование
- •6.4. Решение дифференциальных уравнений в символьной форме
- •6.5. Моделирование переходных процессов в электрических цепях средствами пакета символьной математики
- •6.6. Операторный метод расчета переходных процессов с использованием пакета символьной математики
- •7. Модели детерминированного хаоса и их применение
- •7.1. Дискретные динамические модели первого порядка со сложной динамикой
- •7.2. Программное обеспечение и моделирование нелинейных дискретных систем. Хаос
- •7.3. О применении нелинейных моделей систем для получения псевдослучайных хаотических последовательностей
- •Моделирование технологических процессов в системах с помощью нейронных сетей
- •8.1.Общие положения
- •8.2. Последовательность операций при создании нейронной сети в среде matlab ( Neural Networks Toolbox)
- •3. Оценка погрешности нейронной модели. Для оценки используется функция моделирования, где в скобках, согласно синтаксису, приводятся сеть и входной сигнал:
- •Моделирование уровней воды в водной коммуникации на основе нейронных сетей
- •В водной коммуникации
- •8.4. Применение нейронной сети для определения химического состава песчано – гравийной смеси
- •Моделирование технологического процесса оценки и прогноза рыночных факторов, воздействующих на работу предприятия и бизнес в классе нейронных сетей
- •Библиографический список
- •Оценка параметров, моделирование динамических систем и электрических цепей в среде MatLab
- •165300, Г. Котлас, ул. Невского, 20.
7.2. Программное обеспечение и моделирование нелинейных дискретных систем. Хаос
Представляет большой интерес логистическая модель следующего вида:
Nt+1=Nt(1 + r(1-Nt /K)), t=0, 1, 2, 3, … . (7.11)
Это нелинейная модель. Она относится к очень важному классу динамических систем – к системам с дискретными отображениями. Примером такой дискретной системы, широко используемой для моделирования динамики биологических процессов, а также технологических процессов в технических комплексах различного назначения является система со стробоскопическим наблюдением переменных (отображением Пуанкаре).
В рассматриваемой же ситуации дискретное отображение в форме (7.11) непосредственно определяется природными свойствами экологических процессов динамики популяций.
Динамические свойства дискретной системы (7.11) необходимо исследовать при известных начальных условиях N0, что не должно вызывать в общем серьезных вычислительных трудностей. Однако, несмотря на кажущуюся простоту, итерационные отображения обладают внутренней (структурной) сложностью, которая определяется параметрами (7.11), в частности, коэффициентами r и К. Этим нелинейным отображениям было посвящено большое число публикаций, в том числе-с совершенно неожиданными результатами. Один из наиболее интересных и показательных результатов состоит в обнаружении свойств универсальности отображений. Универсальность проявляется в переходе от регулярных к хаотическим процессам, осуществляемом по так называемому “сценарию Фейгенбаума”. Предположим, что К=1. Тогда мы можем записать два дискретных квадратных уравнения:
Nt+1 = Nt+ rNt(1-Nt), t = 0, 1, 2, 3, …, (7.12)
yt+1=yt2+c, t=0, 1, 2, 3, … , (7.13)
где с- постоянный коэффициент.
Заметим, что (7.12) и (7.13) идентичны и различаются лишь масштабами переменных состояния. Они описывают один и тот же динамический процесс в экологической системе. Чтобы убедиться в этом, введем обозначения
с =, . (7.14)
Если начальное условие
- r · N0,
то
- r · Nt, t=1,2,3, …. (7.15)
Произведем подстановку (7.15) в уравнение (7.13). В результате получим
Nt+1 = Nt + r Nt (1-Nt) + K,
где
К = - - .
Приравнивая коэффициент К к нулю, будем иметь
с = ,
при котором
Nt+1 = Nt + r Nt (1-Nt), t = 0, 1, 2, 3, …
полностью совпадает с уравнением (7.12). В теории экологических систем это уравнение нашло широкое применение, начиная с пятидесятых годов еще восемнадцатого века. Бельгийский математик Р.Ф. Бергольц в 1845 г. впервые предложил эту модель для исследования динамики популяций отдельного биологического вида. В настоящее время в моделях используется иная, более удобная форма записи. Ее можно получить из (7.12), если ввести линейное преобразование
, a = 1+r.
После выполнения простых операций формула примет вид
xt+1 = axt(1-xt), t = 0, 1, 2, 3, … (7.16)
Рассмотрим график, соответствующий уравнению (7.16) и представленный непрерывной функцией
y=ax(1-x)
Это парабола, проходящая через точки (0.0) и (1.0), независимо от заданного параметра а. Максимальное значение y всегда расположено в точке с координатой по оси х=0.5. Ордината точки y=а/4. Парабола y=f(x) является верхней границей для любых процессов, описываемых логистическим уравнением (7.16), где хt принимает значения на рабочем интеграле 0xt1, при условии, что х0 также принадлежит этому интервалу. Теперь для построения итеративного процесса в виде последовательности x0, x1, x2, …на плоскости можно предложить простой графический метод, состоящий в следующем. Построим график параболы y=ax(1-x) и изобразим на плоскости y=f(x) прямую y=x, разделяющую плоскость пополам и проходящую через точки (0,0), (1,1). Предположим, что начальное условие x0 0. Проведем прямую, параллельную оси y и проходящую через x0 , до пересечения с параболой. Через полученную точку проведем прямую, параллельную оси x , до пересечения с прямой y=x. В результате мы получим абсциссу точки процесса на первой итерации xt=x1. Вновь проведем через эту точку прямую, параллельную y, до пересечения с параболой и т.д. В процессе построения траектории все точки на прямой должны располагаться на одинаковом расстоянии от осей y и х.
Основное преимущество графического способа решения логистического уравнения (7.16) состоит в том, что он позволяет наблюдать за рекуррентным процессом и визуально оценивать свойства устойчивости, либо неустойчивости динамики популяций.
Информационная поддержка процесса графического анализа динамики, определяемой уравнением (7.16), обеспечивается файлом sah46.m. Файл состоит из двух основных частей, разделенных штриховыми линиями после задания r. В первой части выполняются построения параболы и прямой, которые используются для генерирования амплитудных значений переменных состояния.
%File "SAH46.M".
%Period-Doubling Bifurcations.
%Iteration of logistic map.
r=0.95;
%---------------------------
x=0:0.01:1;
y1=4*r.*x.*(1-x);
y2=x;
plot(x,y1,x,y2)
hold on,
%---------------------------
x=0.01;
y=0.0;
s=[];
s1=[];
for n=1:500;
s=[s;x;x];
y=4*r.*x.*(1-x);
s1=[s1;x;y];
x=y;
end
plot(s,s1),grid
pause,
hold off
Работа этой части файла завершается соответствующими графическими построениями с использованием оператора hold on, который позволяет сохранить рисунок и продолжить нанесение на него других расчетных зависимостей, получаемых во второй части.
Вторая часть начинается с выбора начального условия х=0.01 (на нулевом шаге). Здесь вводятся «пустые» вектора S и S1, которые заполняются на каждом шаге цикла, организованного с помощью операторов for, end. По завершении расчетов представляются графики динамических процессов в координатах xt+1=f(xt) для различных значений параметра а, который в программе записан в виде равенства а=4r.
Для моделирования процесса с помощью приведенного выше файла требуется задать значения r, х во второй части программы, а затем назначить число шагов t. В представленном варианте файла r=0.95, x=0.01 и число шагов tmax=500.
Рис. 7.1. Устойчивый процесс динамики логистической системы
r=0.7, x0=0.01, fmax=500
Программа завершается оператором hold off, который «отменяет» условие нанесения различных графиков на один рисунок.
Приведем несколько характерных решений, полученных в процессе моделирования с помощью файла sah46.m.
На рис. 7.1 изображен переходный процесс в динамической системе (7.16) при следующих значениях параметров: r=0.7, x0=0.01. tmax=500.
Стрелками показано направление движения изображающей точки по траектории. Процесс начинается с пошагового движения в направлении точки устойчивого равновесия. На 14-ой итерации переменная состояния достигает значения x14=0.6364, а на 450-ой итерации с точностью до четвертого знака после запятой
xt=xt+1=0.6429.
Для представленного на графике процесса характерно
Рис. 7.2. Процесс с устойчивым предельным циклом
r=0.8, x0=0.01, fmax=500
появление периодических быстро затухающих колебаний в области точки устойчивого равновесия.
Увеличение коэффициента до значения r=0.8 приводит к заметным изменениям динамических свойств системы. Представленный на рис.7.2 переходный процесс (при неизменных начальных условиях) содержит устойчивый предельный цикл, на который изображающая точка переходит “изнутри”, т.е. из области пересечения граничных характеристик.
Необходимо подчеркнуть, что увеличение r в сравнении с предыдущим процессом всего на 0,1 приводит к кардинальным изменениям динамических свойств логистического процесса.
Рис. 7.3. Увеличение амплитуды предельного цикла
r=0.85, x0=0.01, fmax=500
На следующем рисунке (рис 7.3), содержащем фазовый портрет динамической системы, полученный для r=0.85, можно наблюдать существенные изменения, сводящиеся в основном к увеличению амплитуды устойчивого предельного цикла. Для этого процесса, как и предыдущего, характерен устойчивый периодический режим, который достигается на меньшем числе шагов.
Дальнейшее увеличение параметра системы до величины r=0.90 приводит к возникновению хаоса (рис. 7.4). Если вывести на дисплей вектор S1 (см. файл sah46.m ), то можно убедиться в сложности определения периодичности решений. Это свидетельствует о неравномерных интервалах времени достижения граничных значений переменными состояния. Хаотическое поведение характеризуется крайней степенью неустойчивости движения.
Рис. 7.4. Хаотический процесс
r=0.90, x0=0.01, fmax=500
Дискретные модели логистических систем не являются тривиальным разностным аналогом соответствующих дифференциальных уравнений, а возникают при изучении заметно синхронизированных процессов [35] . На рис. 7.5 представлен хаотический процесс, полученный в системе, когда r=95. Как и на предшествующем рисунке, мы наблюдаем процесс с возрастающим числом решений (t-периодический процесс с числом периодов, составляющим несколько тысяч), которые чрезвычайно чувстви-тельны к изменению начальных условий и флуктуации параметров модели. Хаотический режим напоминает шумоподобный процесс в системе.
Рис. 7.5. Расширение области аттрактора: r=0.95, x0=0.01, fmax=500
Несмотря на кажущееся случайное поведение модели в динамике, мы в действительности моделируем процессы, используя детерминированное логистическое уравнение. Следовательно, называть этот процесс стохастическим едва ли имеются основания. Мы имеем дело с детерминированным хаосом.
В результате моделирования мы получили наглядную картину того, что увеличение r, начиная со значения r>0.570, приводит к хаотическим режимам, которые в последующем имеют тенденцию усиления. Однако для хаоса характерно такое расположение всех траекторий процесса, при котором ни один из участков траектории не выходит за пределы определенной области на плоскости. Эта область является областью “притяжения” всех траекторий и называется аттрактором. Аттрактор расширяется с увеличением r, что свидетельствует об устойчивом хаотическом процессе и большом разнообразии хаотических структур, вызванных вариацией параметра r.