- •В.И. Королев, в.В. Сахаров, о.В. Шергина оценка параметров, моделирование динамических систем и электрических цепей в среде matlab
- •Санкт-Петербург
- •Рецензенты:
- •Isbn 5-88964-073-X © Королев в. И.,
- •Содержание
- •1. Идентификация параметров моделей систем на основе квадратичных методов оценивания………..……………………………………………………………........................... 11
- •Модели установившихся режимов в электрических цепях и
- •4. Модели пространства состояний в электрических цепях и
- •5. Системы и цепи под воздействием параметрических возмущений: численные и
- •6. Моделирование динамических систем и электрических цепей средствами
- •8. Моделирование технологических процессов в системах с помощью
- •Введение
- •Идентификация параметров моделей систем на основе квадратичных методов оценивания
- •Линейные модели систем Рассмотрим систему линейных уравнений
- •Рассмотрим линейное уравнение
- •Для существования точного решения уравнения (1.1) должно выполняться условие
- •1.2. Переопределенные системы уравнений. Метод наименьших квадратов
- •Введем векторы
- •1.3. Оценивание параметров периодических сигналов по экспериментальным данным
- •Таким образом, требуется оценить амплитуды и фазы
- •Разделив период t на 24 равных интервала, мы получим . Так как , то каждому будет соответствовать угол (в градусах).
- •1.4. Рекуррентный метод оценивания параметров моделей
- •1.5.Алгоритм оценивания параметров моделей в условиях ограничений
- •Минимальное значение (1.43) соответствует условию
- •1.6. Нормы оценивания параметров в теории инверсных систем
- •1.7. Оценивание параметров по критерию минимума среднего абсолютного значения остатков
- •Уравнение измерителя
- •1.8. Нелинейное оценивание параметров моделей в режиме прямых вычислений
- •1.9. Алгоритм ортогонализации в оценке параметров динамических систем
- •Рассмотрим нелинейную дискретную модель системы
- •2. Модели установившихся режимов в электрических цепях и системах
- •2.1. Пример модели цепи постоянного тока
- •Пример модели цепи переменного тока
- •2.3.Несимметричные режимы в трехфазных электрических цепях: метод симметричных составляющих
- •2.4. Модель многоузлового разветвления русла в стационарном режиме. Аналогии с электрической цепью
- •2.5. Модель твердого тела с двумя неподвижными точками
- •2.6. Многопродуктовая модель экономики: межотраслевой баланс
- •2.7. Модель оценки элементов матрицы преобразования
- •3. Динамические звенья и системы под воздействием гармонических сигналов
- •3.1.Построение частотных характеристик простых динамических звеньев
- •3.2.Резонанс в динамических системах
- •3.4. Резонанс в электрических цепях
- •3.4. Режим биений
- •4. Модели пространства состояний в электрических цепях и системах
- •4.1. Понятие состояния
- •4.2. Уравнения состояния для электрических цепей
- •4.3. Приведение к резистивной форме моделей электрических цепей с одним накопителем энергии
- •4.4. Определение коэффициентов дифференциальных уравнений моделей электрических цепей с двумя накопителями энергии
- •4.5. Электрическая цепь с четырьмя накопителями энергии
- •4.6. Примеры составления уравнений состояния rlc -цепей в матричной форме
- •Исходная цепь
- •Краткие сведения о решателях дифференциальных уравнений
- •5.2. Об аналитическом решении дифференциальных уравнений
- •5.3.Матричная форма решения уравнений состояния динамических систем
- •Моделирование динамических систем с двумя накопителями энергии при параметрических возмущениях Для определенности рассмотрим модель динамической системы с двумя накопителями энергии:
- •Моделирование –цепей. Аналитические решения
- •Сопротивления ,
- •Переходный процесс в -цепи под воздействием синусоидального входного сигнала
- •Системы, находящиеся под воздействием периодических сигналов прямоугольной формы
- •Динамические системы с двумя накопителями энергии
- •Корни комплексно-сопряженные.
- •Кратные корни.
- •Вещественные неравные корни
- •Динамические системы с тремя накопителями энергии
- •6. Моделирование динамических систем и электрических цепей средствами символьной математики
- •6.1. Символьные выражения и алгебра
- •6.2. Алгебраические и трансцендентные уравнения. Расчет цепи постоянного тока
- •Символьной алгебры
- •6.3. Символьное дифференцирование и интегрирование
- •6.4. Решение дифференциальных уравнений в символьной форме
- •6.5. Моделирование переходных процессов в электрических цепях средствами пакета символьной математики
- •6.6. Операторный метод расчета переходных процессов с использованием пакета символьной математики
- •7. Модели детерминированного хаоса и их применение
- •7.1. Дискретные динамические модели первого порядка со сложной динамикой
- •7.2. Программное обеспечение и моделирование нелинейных дискретных систем. Хаос
- •7.3. О применении нелинейных моделей систем для получения псевдослучайных хаотических последовательностей
- •Моделирование технологических процессов в системах с помощью нейронных сетей
- •8.1.Общие положения
- •8.2. Последовательность операций при создании нейронной сети в среде matlab ( Neural Networks Toolbox)
- •3. Оценка погрешности нейронной модели. Для оценки используется функция моделирования, где в скобках, согласно синтаксису, приводятся сеть и входной сигнал:
- •Моделирование уровней воды в водной коммуникации на основе нейронных сетей
- •В водной коммуникации
- •8.4. Применение нейронной сети для определения химического состава песчано – гравийной смеси
- •Моделирование технологического процесса оценки и прогноза рыночных факторов, воздействующих на работу предприятия и бизнес в классе нейронных сетей
- •Библиографический список
- •Оценка параметров, моделирование динамических систем и электрических цепей в среде MatLab
- •165300, Г. Котлас, ул. Невского, 20.
-
Переходный процесс в -цепи под воздействием синусоидального входного сигнала
Предположим, что электрическая цепь, состоящая из и , подключается к источнику синусоидальной ЭДС. Начальные условия также равны нулю.
Для определенности зададим следующие значения параметров модели:
(5.0)
Это уравнение можно записать как дифференциальное уравнение второго порядка:
, (5.0)
где , .
Общее решение дифференциального уравнения (5.37) при отсутствии ЭДС источника (при сохранении внутреннего сопротивления этого источника) равно:
(5.0)
Обратим внимание на то, что частота источника ЭДС, согласно (5.36), имеет значение, равное собственной частоте колебаний, полученной в уравнении (5.38). Поэтому при выборе частного решения неоднородного уравнения (5.36) следует принять:
(5.0)
Определим вторую производную для (5.39) по времени и подставим полученное значение и в уравнение (5.37). В результате , . Поэтому:
(5.0)
Решение дифференциального уравнения (5.37), состоящее из суммы общего (5.38) и частного (5.40) решений, равно:
.
Используя нулевые начальные условия для и , получим значения и . Поэтому:
(5.0)
Гармонический сигнал (5.41) характеризуется тем, что его график должен ограничиваться двумя прямыми и . С течением времени амплитуда сигнала должна безгранично возрастать. Если не принять соответствующих мер, препятствующих этому росту и ограничивающих его, последствия могут быть катастрофическими.
При отсутствии в цепи активного сопротивления или иных средств, не допускающих увеличение сигналов сверх максимально допустимых по условиям прочности электрических материалов и работоспособности элементов, может произойти их повреждение, пробой изоляции или возникнуть аварийная ситуация (вследствие резонанса напряжений).
Подобный эффект можно наблюдать в механических системах. При слабом демпфировании на резонансной частоте может произойти повреждение пружины, либо других элементов конструкции.
Таким образом, появление резонанса возможно в динамической системе, если частота внешнего сигнала равна собственной частоте колебаний системы.
С увеличением коэффициента демпфирования амплитуды переменных состояния ограничиваются на резонансной частоте. Эти режимы были уже рассмотрены подробно в параграфах 3.2 и 3.3. Здесь же показано, что для установления максимальной амплитуды на резонансных частотах требуется определенное время. Данное обстоятельство очень часто используется на практике. Приведем пример.
Эксплуатация судовых двигателей внутреннего сгорания, установленных на жестком фундаменте, даже при наличии специальных демпфирующих устройств может приводить на отдельных частотах вращения к неприятным явлениям – увеличению амплитуды вибраций фундамента дизелей и отдельных металлических конструкций. Диапазон частот вращения двигателей, на котором наблюдаются такие явления, получил название зоны «критических оборотов». Чтобы исключить возникновение опасных рабочих режимов, в зоне «критических оборотов» работа дизелей запрещается специальной инструкцией судоводителю. При управлении двигателями рекомендуется внимательно следить за возникновением вибраций и характерного шума, которым сопровождается работа судовой энергетической установки на резонансных частотах, и не допускать его.
Моделирование переходного процесса на резонансной частоте выполнено путем численного решения дифференциального уравнения (5.36). Основная и вспомогательная программы, базирующиеся на использовании , представлены ниже. В файле (вспомогательный файл) содержится функция , соответствующая правой части уравнения (5.36).
Файл
echo off
clc
%Solution of second-order differential equation.
%Resonance.
t0=0;
tfinal=15;
y0=[0 0.25]'; %Define initial conditions.
%[t, y] = ode('sah3',t0,tfinal,y0);
tol=1.e-3; %Accuracy
trace=1;
[t, y] = ode23('sah3',t0,tfinal,y0,tol,trace);
plot(t, y), title('Resonance'), grid
pause
plot(y(:,1),y(:,2)), title('Resonance - phase plane plot'), grid
pause
Файл
%Resonance.
function yprime=sah3(t, y);
yprime=[0 1; -64 0]*[y(1) y(2)]'+[0 16]'*sin(8.0*t);
Г рафики, характеризующие изменение во времени переменных состояния, представлены на рис. 5.13. На рис. 5.14 изображен фазовый портрет, свидетельствующий о расходящемся переходном процессе.