- •В.И. Королев, в.В. Сахаров, о.В. Шергина оценка параметров, моделирование динамических систем и электрических цепей в среде matlab
- •Санкт-Петербург
- •Рецензенты:
- •Isbn 5-88964-073-X © Королев в. И.,
- •Содержание
- •1. Идентификация параметров моделей систем на основе квадратичных методов оценивания………..……………………………………………………………........................... 11
- •Модели установившихся режимов в электрических цепях и
- •4. Модели пространства состояний в электрических цепях и
- •5. Системы и цепи под воздействием параметрических возмущений: численные и
- •6. Моделирование динамических систем и электрических цепей средствами
- •8. Моделирование технологических процессов в системах с помощью
- •Введение
- •Идентификация параметров моделей систем на основе квадратичных методов оценивания
- •Линейные модели систем Рассмотрим систему линейных уравнений
- •Рассмотрим линейное уравнение
- •Для существования точного решения уравнения (1.1) должно выполняться условие
- •1.2. Переопределенные системы уравнений. Метод наименьших квадратов
- •Введем векторы
- •1.3. Оценивание параметров периодических сигналов по экспериментальным данным
- •Таким образом, требуется оценить амплитуды и фазы
- •Разделив период t на 24 равных интервала, мы получим . Так как , то каждому будет соответствовать угол (в градусах).
- •1.4. Рекуррентный метод оценивания параметров моделей
- •1.5.Алгоритм оценивания параметров моделей в условиях ограничений
- •Минимальное значение (1.43) соответствует условию
- •1.6. Нормы оценивания параметров в теории инверсных систем
- •1.7. Оценивание параметров по критерию минимума среднего абсолютного значения остатков
- •Уравнение измерителя
- •1.8. Нелинейное оценивание параметров моделей в режиме прямых вычислений
- •1.9. Алгоритм ортогонализации в оценке параметров динамических систем
- •Рассмотрим нелинейную дискретную модель системы
- •2. Модели установившихся режимов в электрических цепях и системах
- •2.1. Пример модели цепи постоянного тока
- •Пример модели цепи переменного тока
- •2.3.Несимметричные режимы в трехфазных электрических цепях: метод симметричных составляющих
- •2.4. Модель многоузлового разветвления русла в стационарном режиме. Аналогии с электрической цепью
- •2.5. Модель твердого тела с двумя неподвижными точками
- •2.6. Многопродуктовая модель экономики: межотраслевой баланс
- •2.7. Модель оценки элементов матрицы преобразования
- •3. Динамические звенья и системы под воздействием гармонических сигналов
- •3.1.Построение частотных характеристик простых динамических звеньев
- •3.2.Резонанс в динамических системах
- •3.4. Резонанс в электрических цепях
- •3.4. Режим биений
- •4. Модели пространства состояний в электрических цепях и системах
- •4.1. Понятие состояния
- •4.2. Уравнения состояния для электрических цепей
- •4.3. Приведение к резистивной форме моделей электрических цепей с одним накопителем энергии
- •4.4. Определение коэффициентов дифференциальных уравнений моделей электрических цепей с двумя накопителями энергии
- •4.5. Электрическая цепь с четырьмя накопителями энергии
- •4.6. Примеры составления уравнений состояния rlc -цепей в матричной форме
- •Исходная цепь
- •Краткие сведения о решателях дифференциальных уравнений
- •5.2. Об аналитическом решении дифференциальных уравнений
- •5.3.Матричная форма решения уравнений состояния динамических систем
- •Моделирование динамических систем с двумя накопителями энергии при параметрических возмущениях Для определенности рассмотрим модель динамической системы с двумя накопителями энергии:
- •Моделирование –цепей. Аналитические решения
- •Сопротивления ,
- •Переходный процесс в -цепи под воздействием синусоидального входного сигнала
- •Системы, находящиеся под воздействием периодических сигналов прямоугольной формы
- •Динамические системы с двумя накопителями энергии
- •Корни комплексно-сопряженные.
- •Кратные корни.
- •Вещественные неравные корни
- •Динамические системы с тремя накопителями энергии
- •6. Моделирование динамических систем и электрических цепей средствами символьной математики
- •6.1. Символьные выражения и алгебра
- •6.2. Алгебраические и трансцендентные уравнения. Расчет цепи постоянного тока
- •Символьной алгебры
- •6.3. Символьное дифференцирование и интегрирование
- •6.4. Решение дифференциальных уравнений в символьной форме
- •6.5. Моделирование переходных процессов в электрических цепях средствами пакета символьной математики
- •6.6. Операторный метод расчета переходных процессов с использованием пакета символьной математики
- •7. Модели детерминированного хаоса и их применение
- •7.1. Дискретные динамические модели первого порядка со сложной динамикой
- •7.2. Программное обеспечение и моделирование нелинейных дискретных систем. Хаос
- •7.3. О применении нелинейных моделей систем для получения псевдослучайных хаотических последовательностей
- •Моделирование технологических процессов в системах с помощью нейронных сетей
- •8.1.Общие положения
- •8.2. Последовательность операций при создании нейронной сети в среде matlab ( Neural Networks Toolbox)
- •3. Оценка погрешности нейронной модели. Для оценки используется функция моделирования, где в скобках, согласно синтаксису, приводятся сеть и входной сигнал:
- •Моделирование уровней воды в водной коммуникации на основе нейронных сетей
- •В водной коммуникации
- •8.4. Применение нейронной сети для определения химического состава песчано – гравийной смеси
- •Моделирование технологического процесса оценки и прогноза рыночных факторов, воздействующих на работу предприятия и бизнес в классе нейронных сетей
- •Библиографический список
- •Оценка параметров, моделирование динамических систем и электрических цепей в среде MatLab
- •165300, Г. Котлас, ул. Невского, 20.
-
Идентификация параметров моделей систем на основе квадратичных методов оценивания
-
Линейные модели систем Рассмотрим систему линейных уравнений
(1.1)
где A - матрица постоянных коэффициентов размерности (mЧn),
x - (nЧ1) - вектор неизвестных переменных состояния,
b - (mЧl) - вектоp выхода.
Предположим, что матрица состоит из т векторов, образованных из элементов строк
Множество векторов а1, а2, ..., аm содержит линейно зависимые векторы, если существуют такие действительные числа 1, 2, …, m, не все равные нулю, при которых обеспечивается равенство
(1.2)
Если равенство (1.2) не соблюдается, то векторы а1, а2, ..., аm являются линейно независимыми. Например, матрица
содержит все линейно зависимые строки, поскольку любой из векторов а1, ... а4 может быть получен путем умножения другого вектора на постоянное число
Ранг матрицы A есть максимальное число линейно независимых ее строк и столбцов. Для нахождения ранга матрицы в среде MatLAB используется оператор
rank(A) = 1,
т.е. A содержит все линейно зависимые векторы.
Рассмотрим линейное уравнение
(1.3)
Поскольку матрица А1 является квадратной, то вектор x, казалось бы, должен определяться путем использования операции инверсии
B среде MatLAB инверсию выполним с помощью оператора "inv":
x = (inv(A1))*b.
Однако ранг A1 равен 2, и система уравнений плохо обусловлена, т.к. векторы, составленные из элементов первой и второй строк, являются линейно зависимыми.
Для существования точного решения уравнения (1.1) должно выполняться условие
rank(A) = = n, (1.4)
где (nЧn) — размерность квадратной матрицы A.
Возвращаясь к примеру (1.3), получим
rank(A1) = 2;
= 3,
т.е. условие (1.4) не соблюдается, и точное решение не существует, поскольку
Ранг прямоугольной матрицы размерности (mЧn) не обязательно равен min{m,n}, т.е.
rank(A) min{m,n}.
Если же
rank(A) = min{m,n},
то принято считать, что A имеет полный ранг.
Рассмотрим систему уравнений
где
Определим ранг двух матриц
rank(A3) = 2,
Заметим, что число столбцов А3 больше числа строк и соблюдается условие
rank(A3 ) = rank([A3 • b3 ]) < n .
Поэтому мы получим множество решений для вектора
x = [x1 х2 х3]т.
Таковыми, например, являются
х = [- 1 1 0]Т; х = [0.3333 0.6267 -0.0533]Т и другие.
Если А3 имеет размерность (mЧn), причем т <n, то ее полный ранг равен т. Тогда множество любых т независимых векторов, составленное из столбцов A3 , образует базис матрицы. Из этих столбцов можно образовать квадратную матрицу B размерности (mЧm}, которая может быть подматрицей A3
A3 = [B N], (1.5)
где N состоит из столбцов, не вошедших в B. Размерность N равна [m(n - m)].
Согласно (1.5) можно произвести разложение вектора x на составляющие
x = [xB xN]T, размерности которых, соответственно, т и (n - m). Вектор xB cостоит из базисных переменных, a xN содержит небазисные переменные.
Очевидно, исходную систему линейных уравнений (1.1) в этом случае можно записать
[B N] (1.6)
Полагая хN = 0, мы можем точно определить xB:
(1.7)
поскольку в этом случае выполняется условие (1.4).
Концепция базиса матрицы играет фундаментальную роль в линейном программировании. Располагая множеством базисных решений, мы в принципе можем выбрать наилучшее из них в определенном критериальном смысле. Однако процедура выбора - достаточно сложная задача, решаемая методами математического программирования на компьютерах при наличии соответствующего программного обеспечения.
Возвратимся вновь к линейному уравнению (1.1). Если размерность A равна (mЧn}, причем т > n, то система оказывается переопределенной. B этом случае число уравнений больше числа неизвестных, и в процессе решения такой системы мы можем найти оценку вектора x, отвечающую в наилучшей степени всем уравнениям переопределенной системы. Такой "наилучшей" оценкой может быть, например, минимум эвклидовой нормы вектора
(1.8)
где - оценка вектора x размерности (n1).
Напомним, что z имеет размерность (ml) и остановимся на данном вопросе более подробно.