Лабораторна робота № 3.

Тема: Розрахунок параметрів вибірок і критерія Пірсона.

Завдання: Скласти програму, що буде розраховувати критерій Пірсона і порівнювати його з табличним значенням для будь-якої згенерованої вибірки по одному з 3^х основних законів розподілу. Також необхідно побудувати гістограму вибіркових значень, зі спрямляючою кривою, що проходить через середини стовпчиків гістограми. Порахувати теоретичні ймовірності закону розподілу й частоти влучення вибіркових значень у кожен інтервал гістограми.

Доповнення: У програмі потрібно передбачити можливість генерації вибірки по одному закону розподілу, а перевірка на інший закон розподілу, тобто потрібно вибирати закон по якому генеруються вибірки і закон по якому буде перевірятися вибірка.

Теоретичні відомості

Критерій Пірсона відноситься до критерію згоди. Цей критерій дозволяє перевірити статистичні гіпотези. У цьому випадку буде перевірятися гіпотеза про вид закону розподілу вибірки.

Примітка: критерій згоди стрімко втрачає точність обчислення при N < 60(N – об`єм вибірки). Саме тому рекомендується застосовувати критерій Пірсона при N ≥ 100. При N = 30 виходить дуже груба оцінка. При менших обсягах поняття закону розподілу губить зміст.

Методика розрахунку:

1. Генерується вибірка по одному з 3^х основних законів розподілу (нормальний, лог-нормальний, експоненціальний).

2. цілочислове значення

   Використовуючи підпрограму обчислення визначеного інтеграла (наприклад по формулі Сімпсона) обчислюється квантіль закону розподілу.

3. Обчислюється число інтервалів за наступною формулою:

Обсяг вибірки

4. Для того щоб визначити границі інтервалів потрібно відсортувати вибірку по зростанню.

5. Визначаємо розмах вибірки R.

6. Далі розраховується довжина проміжку (ділянки) на гістограмі відповідно .

7. Виводиться отримана гістограма на екран зі спрямляючою кривою, яка проходить через середини стовпчиків.

8. , де f(x) – аналітична формула по математичній статистиці.

Обчислюємо критерій Пірсона(λ²):

, де - частота влучення значень вибірки в i^ий проміжок.

9.) Далі обчислене значення λ² порівнюється з табличним значенням. Якщо λ² < табличного значення, то гіпотеза про вид закону розподілу приймається, інакше ця гіпотеза відкидається.

Лабораторна робота № 4.

Тема: Критерії приналежності 2^х вибірок одній генеральній сукупності.

Завдання: Скласти програму для розрахунку F і t критеріїв. Генеруються 2 вибірки, для них розраховуються параметри законів розподілу(середнє та дисперсія). F і t критерії служать для визначення приналежності 2^х вибірок до однієї генеральної сукупності. Передбачити як порівняння вибірок згенерованих по одному закону розподілу, так і згенерованих за різними законами розподілу. У результаті роботи програми повинно видаватися повідомлення про приналежність вибірок одній генеральній сукупності, а також повідомлятися про велику розбіжність дисперсій або середніх.

Теоретичні відомості

Генеральна сукупність - це вибірка дуже великого розміру в різних частинах якої параметри законів розподіли не відрізняються один від одного статистично значимо. Завдання визначення приналежності 2^х вибірок до однієї генеральної сукупності мають багато прикладних додатків. Прикладом служать наступні завдання: точність виміру приладів час від часу необхідно перевіряти. Перевірка виробляється так, спочатку виміри робляться еталонним приладом, показанням якого можна вірити, потім у тих же умовах виміру робляться виміри досліджуваним приладом. Для визначення придатності приладу застосовується f і T критерії.

f – розбіжність дисперсій;

T – розбіжність середніх у порівнюваних вибірках.

Якщо розбіжність дисперсій статистично значима - то це значить, що занадто велика випадкова помилка випробовуваного приладу і він має потребу в регулюванні.

Якщо велика розбіжність по t - критерію - то це значить, що приклад має занадто велику систематичну помилку і прилад має потребу в перенастроюванні.

Примітка: додатковою умовою при використання даних критеріїв є вимога ергодичності або стаціонарності випадкового процесу вимірів. Ергодичність має на увазі, що середнє по ансамблю дорівнює середньому за часом. Якщо ми проводимо серії вимірів на протязі тривалого часу і знаходимо середнє, то воно називається середнім за часом. Вимога статистичної стаціонарності має на увазі, що всі статистичні характеристики (моменти розподілу) не міняються з плином часу.

Розрахункові формули, необхідні для обчислення критеріїв:

; D₂ ≥ D₁

Обчислене значення F порівнюється з табличним значенням розподілу. Якщо F < F_табл. – , то це значить, що розбіжність дисперсій не є значимою, у противному випадку розбіжність дисперсій вважається значимою.

N₁,N₂ – обсяг першої і другої вибірок;

Обчислене значення t - порівнюється з табличним значенням розподілу. Якщо t < t_табл., та розбіжність середніх не значима, інакше вона є значимою.

Примітка: застосування F, t критеріїв вимагає щоб в 2^х вибірках був однаковий вид закону розподілу. Також накладається обмеження на обсяг вибірок N ≥ 60. Для менших обсягів існують непараметричні критерії.