Основы комбинаторного анализа

Комбинаторика, комбинаторный анализ - один из разделов дискретной математики, который играет важную роль, как в связи с его использованием в теории вероятностей, математической логике, теории чисел, кибернетике, так и имеющий важное самостоятельное значение при решении задач, связанных с подсчетом числа способов осуществления некоторых действий и оптимизацией действий.

Усиление важности комбинаторики связано с бурным развитием вычислительной техники, кибернетики, теории принятия оптимальных решений в самых разнообразных областях человеческой деятельности (военное дело, социология, экономика и др.).

Имеется несколько различных определений комбинаторики, но, пожалуй, все они не являются достаточно точными и четкими.

В самом общем виде можно сказать, что комбинаторика возникает в тех случаях, когда необходимо подсчитать число возможных способов расположения каких-то предметов, объектов при определённых условиях, или число возможных способов осуществления некоторых операций, действий.

Приведём простейшие примеры комбинаторных задач. Сколькими способами можно расположить 100 человек в очередь? Сколькими способами могут быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали на чемпионате мира по футболу? Сколькими способами можно составить расписание занятий? Сколько способов чередования аминокислот в белковых соединениях? Сколько способов посевов на нескольких участках? Сколько способов поставки сырья на предприятие?

Изложение методов комбинаторного анализа можно вести, отталкиваясь от различных первичных понятий. Здесь можно выделить несколько наиболее принятых подходов. Первый из них исходит из того, что комбинаторика занимается расчетом различного рода выборок или расположений в определённом порядке каких-либо элементов, предметов, объектов.

Другой подход под комбинаторикой понимает изучение распределений (размещений) объектов некоторой совокупности по ячейкам (ящикам, урнам и т.п.). Иными словами, считается, что комбинаторика занимается расчетом числа способов (вариантов) размещения частиц (шаров, предметов) с определенными свойствами (например, различимые частицы, неразличимые частицы) по ячейкам с определёнными свойствами (например, ячейки разного цвета) при определённых способах размещения этих частиц по ячейкам (например, в одной ячейке не может находиться более одной частицы и др.).

Но всякая совокупность элементов произвольного рода образует множество. В связи с этим можно говорить, что комбинаторика есть теория конечных множеств. Одной из основных характеристик конечного множества является число его элементов (мощность множества). Комбинаторика как теория конечных множеств дает правила (методы, алгоритмы), как, зная количество элементов некоторых множеств, вычислить количество элементов других множеств, которые составлены из первых с помощью некоторых операций. Можно также сказать, что необходимость в методах комбинаторного анализа возникает всякий раз, когда интересуются подсчетом числа способов расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое расположение называют комбинаторной конфигурацией. И тогда говорят, что комбинаторика это раздел дискретной математики, связанный с исследованием существования, алгоритмами построения и подсчетом числа комбинаторных конфигураций из элементов некоторого конечного множества.

Представление о методах комбинаторного анализа может быть дано различным образом в зависимости от реализации указанных выше подходов.