Введение

Дисциплина «Математика» изучается на протяжении двух семестров. В первом семестре изучаются разделы:

1. Элементы линейной и векторной алгебры и аналитической геометрии.

2. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

3. Интегральное исчисление.

4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Ряды. Дифференциальные уравнения.

Во втором семестре изучаются разделы:

5. Теория вероятностей и математическая статистика.

6. Математическое программирование.

В каждом семестре выполняется одна контрольная работа. В первом семестре - контрольная работа № 1 (задачи 1-7), во втором семестре - контрольная работа № 2 (задачи 8-14). Студент должен решить задачи своего варианта, который определяется по последней цифре номера зачетной книжки студента, например: если № зачетной книжки заканчивается на 2, то студент выполняет задания 1.2, 2.2, 3.2, 4.2, 5.2, 6.2, 7.2. В задачах 8-11 данные в задачах определяются по последним трем цифрам номера зачетной книжки студента.

Контрольные задания

Задача 1. Даны вершины треугольника. Найти: 1) длину стороны ; 2) внутренний угол в радианах с точностью до 0,001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину ; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину ; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины ; 7) систему неравенств, определяющих треугольник . Сделать чертеж.

1.1. .

1.2. .

1.3. .

1.4. .

1.5. .

1.6. .

1.7. .

1.8. .

1.9. .

1.10. .

Задача 2. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления:

2.1.

2.2.

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

Задача 3. Найти производные заданных функций.

3.1. ;

3.2. ;

3.3. ;

3.4. ;

3.5. ;

3.6. ;

3.7. ;

8. ;

8. ;

3.10. ;

Задача 4. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f(x) и, используя результаты исследования, построить ее график.

1. 4.2. у = 4.3. у =

4.4. у = 4.5. у = 4.6.

7. 4.8.

4.9. 4.10.

Задача 5. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

1. 

2. 

5.3.

4. 

4. 

4. 

4. 

4. 

4. 

4. 

Задача 6. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию при .

0. .

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

Задача 7. Найти интервал сходимости степенного ряда .

1. . 7.2. .

3. . 7.4. .

7.5. . 7.6. .

7.7. . 7.8. .

9. . 7.10. .

В задачах 8-11 исходные данные определяются по номеру зачетной книжки (шифру) студента. Положим значения A,B,C равными соответствующим трем последним цифрам шифра (отметим, что если какая-то цифра шифра равна 0, то соответствующее ей значение A,B или C принимается равным 10).

Задача 8. В каждой из трех урн содержится C черных и B белых шаров. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.

Задача 9. Имеется три партии деталей по (10+A+B+C) деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно (10+A), (10+B), (10+C). Из наудачу взятой партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Затем из той же партии вторично наудачу извлекли деталь, также оказавшуюся стандартной. И, наконец, из той же партии в третий раз наудачу извлекли деталь, которая также оказалась стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из второй партии.

Задача 10. Случайная величина X задана функцией распределения F(x):

Требуется:

а) найти плотность распределения вероятностей;

б) построить графики интегральной и дифференциальной функций;

в) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X;

г) определить вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале

Для задачи 3 необходимые параметры вычисляем по формулам:

Задача 11. Дано статистическое распределение выборки

	3	7	15			13	5

где ;

Требуется:

1. Найти методом произведений выборочные: среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс.

2. Построить нормальную кривую.

3. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания M(X), полагая, что X имеет нормальное распределение, среднее квадратическое отклонение и доверительная вероятность .

Задача 12. Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств и геометрически найти наименьшее и наибольшее значения линейной функции.

1. 12.2.

12.3. 12.4.

12.5. 12.6.

12.7. 12.8.

12.9. 12.10

Задача 13. Предположим, что для производства двух видов продукции А и В можно использовать материал только трех сортов. При этом на изготовление единицы изделия вида А расходуется кг материала первого сорта, кг материала второго сорта и кг материала третьего сорта. На изготовление единицы изделия вида расходуется кг материала первого сорта, кг материала второго сорта, кг материала третьего сорта. На складе фабрики имеется всего материала первого сорта кг, материала второго сорта кг, материала третьего сорта кг. От реализации единицы готовой продукции вида А фабрика имеет прибыль руб., продукции вида В прибыль составляет руб.

Определить максимальную прибыль от реализации всей продукции видов А и В. Решить задачу симплекс-методом. Дать геометрическую интерпретацию математической формулировки задачи.

13.1.

2. 

2. 

2. 

2. 

2. 

3. 

2. 

2. 

2. 

Задача 14. Имеются три пункта поставки однородного груза пять пунктов потребления этого груза. На пунктах находится груз соответственно в количестве т. В пункты требуется доставить соответственно т груза.

Расстояние между пунктами потребления приведено в следующей матрице таблице:

Пункты поставки	Пункты потребления

Найти такой план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза, чтобы общие затраты по перевозкам были минимальными.