Логические методы представления знаний

Предварительно остановимся на изложении некоторых понятий формальной теории.

Формальная теория задана, если определены четыре множества B, F, A, R : S = {B, F, A, R}, где

B - счетное множество базовых символов (алфавит) теории S ;

F - подмножество выражений теории S (формулы теории );

A - выделенное множество формул, образующее аксиомы теории S (множество априорно истинных формул);

R - конечное множество отношений между формулами ( правила вывода).

Формальная теория S называется РАЗРЕШИМОЙ, если найдется единая процедура, которая позволяет узнать для любой данной формулы, существует ли ее вывод в S.

Формальная теория S называется НЕПРОТИВОРЕЧИВОЙ, если не существует такой формулы a_i Î A, чтобы a_i и `a_i были выводимы в S.

Теория исчисления предикатов определяется следующими множествами:

АЛФАВИТ:

знаки пунктуации (,) . ;

пропозициональные связки È, Ç ,` , É

знаки кванторов " , $

символы переменных х_k , k=1,2,...,n

символы функциональных букв f_kⁿ

символы предикатных букв P_k

ВЫРАЖЕНИЯ: множества выражений строятся над множеством символов алфавита с помощью термов и элементарных формул.

ТЕРМЫ: символы переменной или константы, например X₁,X₂, ...,Xn или f_k (X₁,X₂, ...,Xn)

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМУЛЫ: совокупность предикатных букв, термов и знаков пунктуации, например,

P_k (X₁,...,Xn)

ПРАВИЛЬНО ПОСТРОЕННЫЕ ФОРМУЛЫ: совокупность элементарных формул и пропозициональных связок, например:

P_k (X_{1 ,}...,Xn) = P₁ (X₁,...,Xn).

С помощью выражения ("X)_D (A) обозначается область действия квантора всеобщности. Это означает: для любого X из D существует правильно построенная формула A.

С помощью выражения ($X)_D (A) устанавливается существование такого X из D, для которого справедлива правильно построенная формула.

Области значений правильно построенных формул кодируются таблицами истинности. Они устанавливают значения 0 либо 1 ("ложь" либо "истина") формулам:

`A , A È B, A Ç B

НЕЧЕТКОЕ ОТНОШЕНИЕ определяется оператором R и операцией "o": R o A = B, где A - входное нечеткое множество, B - выходное нечеткое множество.

Не будем раскрывать данную запись на уровне системы алгебраических уравнений.

Если истинность обозначена для всех наборов интерпретаций, ее называют общезначимой, в противном случае она невыполнима.

Говорят, что формула A логически следует из формул B₁,B₂,...,Bi тогда и только тогда, когда интерпретация формулы B₁,B₂,...,Bi совпадает с интерпретацией A. (B₁,B₂,...,Bi Þ A)

В этом случае B₁,...,Bi - посылки, а A - заключение логического следования.

В сжатой форме это отношение обозначается как B₁,B₂,...,Bi => A

На практике имеет большое значение теорема дедукции, согласно которой A является логическим следствием B₁,...,Bi тогда и только тогда когда формула B₁,B₂,...,Bi общезначима.

Известно использование исчисления предикатов для доказательства теорем. Методы доказательства теорем основываются на том, что если формула исчисления предикатов общезначима, то возможна проверка ее общезначимости на основе исчисления предикатов.

Элементы исчисления предикатов используются для кодирования аксиоматики того или иного математического аппарата. Это позволяет использовать его в технологических приложениях для записи спецификаций программ и как следствие для аналитического преобразования формул, модельного представления объектов проектирования и описания проектных процедур, а также для проверки на корректность и полноту программных реализаций систем аналитических вычислений.