- •Тема 1 Лінійна алгебра Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (слар)
- •Система трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими
- •Тема 2 Визначники другого і третього порядків та їх властивості
- •Основні властивості визначників 3-го порядку
- •Тема 3 Матриці
- •Лінійні дії над матрицями
- •Множення матриць
- •Властивості множення матриць
- •Визначник добутку матриці
- •Обернена матриця
- •Розв’язування слар матричним способом
- •Тема 2 Векторна алгебра Вектори
- •Розклад даного вектора за напрямками на прямій, на площині і в просторі
- •Лінійна залежність і лінійна незалежність системи векторів
- •Декартова прямокутна система координат
- •Лінійні операції над векторами
- •Перехід вектора до нового базису
- •Умова колінеарності двох векторів
- •Поділ відрізка у даному співвідношенні
- •Скалярний добуток векторів
- •Довжина вектора
- •Косинус кута між векторами
- •Умова ортогональності векторів
- •Проекція вектора на вектор
- •Фізичний зміст скалярного добутку
- •Векторний добуток векторів
- •Застосування векторного добутку
- •Мішаний добуток трьох векторів
- •1. Алгебрична форма комплексного числа.
- •2. Тригонометрична форма комплексного числа.
- •3. Показникові форма комплексного числа. Формули Ейлера.
- •4. Деякі застосування комплексних чисел.
- •Похідна функції
- •1. Визначення похідній, її геометричний і механічний зміст
- •Геометричний зміст похідної
- •1.2. Механічний зміст похідної
- •2. Найпростіші правила знаходження похідній
- •2.1. Похідна як функція
- •3. Похідна зворотної функції
- •4. Похідні елементарних функцій (табличні похідні)
- •5. Похідна складної функції (композиції)
- •6. Диференціал
- •6.1. Інваріантість форми диференціала
- •Геометричний зміст диференціала
- •6.3. Диференціал суми, добутку, частки
- •7. Похідні й диференціали вищих порядків
- •7.1. Неінваріантість форми диференціалів більше високого порядку
- •8. Основні теореми про диференційовані на відрізку функції
- •9. Формула тейлора і її застосування
- •Подання основних елементарних функцій по формулі тейлора
- •1. Зростання й убування функції. Екстремуми. Найбільше й найменше . Значення функції
- •1.1. Зростання й убування функції
- •2. Точки екстремуму функції
- •1.3. Найбільше й найменше значення безперервної на відрізку функції
- •2. Опуклість нагору й униз, точки перегину
- •3. Асимптоти кривих
- •4. Дослідження функцій і побудова їхніх графіків
- •5. Задачі на екстремум
Тема 2 Визначники другого і третього порядків та їх властивості
Визначником другого порядку називається число отримане з 4-х розміщених у вигляді таблиці і яке обчислюється за правилом . Числа – називаються елементами визначника. Числа утворюють головну діагональ, а – побічну.
Визначник ще називають детермінантом та позначається , det.
Обчислити :
Розв’язати рівняння:
Визначником 3-го порядку називається число отримане з дев’яти заданих чисел розміщених у вигляді квадратної таблиці, обчислине за правилом:
Для кращого засвоєння порядку обчислення скористуємося схемою(правило трикутника):
Обчислити:
2)
Основні властивості визначників 3-го порядку
1.Величина визначника не зміниться при заміні відповідних рядків стовпцями (операція транспонування).
2.Знак визначника зміниться на протилежний, якщо в ньому поміняти місцями два його рядки (стовпці).
3.Визначник дорівнює нулю, якщо в ньому співпадають відповідні елементи 2-х рядків (стовпців).
4. Визначник дорівнює нулю, якщо всі елементи одного рядка (стовпця) є нулями.
5.Спільний множник елементів одного рядка (стовпця) можна винести за знак визначника.
6. Якщо елементи одного рядка (стовпця) пропорційні відповідним елементам другого рядка (стовпця), то такий визначник дорівнює нулю.
7. Якщо кожний з елементів рядка (стовпця) визначника є сумою двох доданків, то цей визначник можна подати у вигляді суми відповідних визначників.
8.значення визначника не зміниться якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати відповідні елементи другого рядка (стовпця), помножене на одне і те ж число.
Мінори та алгебраїчні доповнення
Мінором елемента (позначається М) визначника 3-го порядку називається визначник 2-го порядку, отриманий з даного визначника , в якому викреслено і-тий рядок і j-тий стовпець на перетині яких розташований елемент .
Наприклад: знайти
Для визначника 2-го порядку мінором є відповідній елемент.
алгебраїчним доповненням елемента називається мазивається відповідний мінор , взяти із знаком , тобто , де і – номер рядка; j – номер стовпця.
Наприклад: знайти
Знаки перед мінорами розподіляються за схемою:
Теорема про розклад визначника
Теорема: визначник дорівнює сумі добутків елементів рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення.
(1)
Рівність (1) називають розкладом визначника за елементами першого стовпця.
Наприклад: обчислити визначник за елементами 1-го рядка:
Теорема заміщення
Теорема: сума добутків алгебраїчних доповнень будь якого рядка (стовпця) на довільні числа дорівнює новому визначнику, в якому цими числами заміщені відповідні елементи початкового визначника, що відповідають даним алгебраїчним доповненням.
Теорема анулювання
Теорема: сума добутків елементів одного рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівняє нулю.
Формули Крамера для СЛАР
Нехай задано систему:
Необхідно знайти X,Y,Z.
Складемо визначник із коефіцієнтів при невідомих
Помножимо кожне з рівнянь відповідно на (алгебраїчні доповнення елементів першого стовпця) і додамо всі три рівності.
за теоремою анулювання коефіцієнт біля Y,Z – дорівнює нулю, а біля X– .
За теоремою заміщення
Отже,
Аналогічно:
Дослідження СЛР (при розв’язку за допомогою визначників)
-
Якщо визначник системи (1) , то система має Розв’язання и при тому єдине, яке може бути знайдене за формулами Крамера.
-
Якщо , але хоча б один з – відмінний від нуля, то система (1) несумісна.
-
Якщо , а , то система має безліч розв’язків.
Наприклад:
Відповідь: (4;1;3)
Однорідні СЛАР
(2)
Якщо визначник однорідної системи (2) відмінний від нуля (), то така система має тільки нульовий розв’язок.
за властивістю 4.
Якщо однорідна система (2) має відмінний від нуля розв’язок, то її визначник дорівнює нулю. ()