1. Зростання й убування функції. Екстремуми. Найбільше й найменше . Значення функції

1.1. Зростання й убування функції

Визначення 1. Нехай функція f(x) визначена на інтервалі (а,b). Кажуть, що функція f(x) зростає (убуває) у точці х₀ C (а,b), якщо існує δпро > 0 таке, що s(xo,δ_o) З (а,b), і для будь-якого h, що задовольняє нерівності 0 < h <δo, виконується нерівність

(1),

(2)

Визначення 2. Функція f(x), певна на інтервалі (а,b), називається зростаючої (убутної) на інтервалі (а,b), якщо для будь-яких х₁, x₂ € (а,b) таких, що х₁ < x₂, виконується нерівність

(3),

(4)

Запишемо визначення зростання функції на інтервалі (а, b) мовою предикатів і кванторів:

ТЕОРЕМА 1

Для того щоб функція f(х), певна на інтервалі(а,b), була зростаючої (убутної), необхідно й досить, щоб вона була зростаючої (убутної) у кожній точці інтервалу.

Зауваження. Незважаючи на гадану очевидність і простоту, доказ достатності надзвичайно трудомістко й вимагає старанності й акуратності в міркуваннях.

ТЕОРЕМА 2 (Достатні умови зростання функції в точці й на інтервалі)

Якщо функція f(х) диференційована в точці x₀ € (а,b) і f'(x₀)>0 (f'(xo)<0), то функція f(x) зростає (убуває) у точці х_о.

Якщо функція f(x)диференційована на (а,b) і в кожній точці х € (а,b) f'(x) > 0 (f'(x) < 0), то функція f(x) зростає (убуває) на інтервалі (а,b).

Ясно, що друга частина теореми — наслідок першої частини й теореми 1. Доведемо першу частину теореми для випадку f'(x₀) > 0.

Ми знаємо, що з визначення похідної функції в точці треба, що існує δ_про > 0 таке, що s(xo,δ_o) З (а,b), і в s(x_o, δ_о) виконується формула

Виберемо 0<δ₁≤ δ_про таке, що

Тоді для всіх х € s(x_o,δ_o) f>0 для x >0 і f < 0 для х < 0, а із цього треба, що якщо h таке, що 0 < h≤ δ_про, те

т. е. зростання функції f(x) у точці x₀, коли f'(x_o) > 0, доведено. Убування функції f(х) у точці х_о, коли f'(х₀) < 0, доводиться аналогічно.

Зауваження. Умови теореми 2 є лише достатніми. Дійсно, функція f(x) = x³ у точці х = 0 зростає. а f'(0) = 0.

Точками зростання безперервної функції на (а,b) можуть бути також точки, у яких похідна не існує; дійсно, розглянемо функцію, певну на (0,2) правилом

Її графік зображений на мал.1.

Ясно, що вона безперервна на (0,2), зростає на (0,2), значить (теорема .1), зростає в кожній точці інтервалу (0,2), однак у точці х = 1 вона не є диференційованою (подумайте чому?).

2. Точки екстремуму функції

Ми вже дали визначення точок локального максимуму й мінімуму, назвавши їхніми точками локального екстремуму, і довели теорему, що дає необхідна умова того, що точка є точкою локального екстремуму диференційованої функції, що складалося у зверненні до нуля похідної.

Ця теорема дала ключ до знаходження множини точок, «підозрілих» на екстремум (ці точки ще називають критичними точками для функції f). Ми зрозуміли, що критичними точками для функції, безперервної на (а,b), є точки, у яких похідна функції дорівнює нулю або не існує.

Ясно, що критична точка є точкою локального максимуму, якщо при переході аргументу через неї відбувається зміна характеру монотонності зі зростання на убування, і точкою локального мінімуму, якщо при переході через неї відбувається зміна монотонності з убування на зростання.

Ясно, що якщо функція f(x) така, що точка x₀ — критична для f(х) і існує δ_o > 0 таке, що для будь-якого х € s’_-(x_o,δ_o) f'(x) > 0 і для будь-якого х € s’₊(x_o,δ_o) f'(x)< 0, точка х_о є точкою локального максимуму; а якщо для будь-якого х € s’_-(x_o,δ_o) f'(x)<0 і для будь-якого х € s’₊(x_o,δ_o) f'(x)<0, то точка х_о є точкою локального мінімуму.