2.5. Задача распределения перевозок

Задача распределения перевозок – это задача о таком распределении потоков в сети, при котором удовлетворяются сетевые ограничения.

При этом вопрос состоит в том, чтобы найти допустимое решение этой задачи.

Очевидно, что существует много решений такого распределения, поскольку распределение перевозки по сети можно выполнять по различным критериям.

В том случае, когда транспортные потоки для всех элементов вектора потоков определены заранее или заданы, распределение потоком может быть подчинено тем маршрутам, на которых величина издержек или затрат пользователей минимальна. Это согласуется с принципом Вардропа. И в этом случае задача распределения совпадает с задачей равновесия на сети.

2.6. Определение дескриптивных и нормативных систем перевозок

Как было отмечено ранее, каждая поездка имеет соответствующие доходы и расходы. Кроме расходов и доходов, непосредственно производимых и получаемых едущими, могут быть расходы и доходы, производимые и получаемые другими членами общества.

В качестве расходов, которые несет едущий, могут выступать затраты времени на передвижение или затраты горючего, которое при этом потребляется, и т.д. Расходы общества включают в себя увеличение времени передвижения других пользователей дороги, износ дороги, ущерб, нанесенный окружающей среде, и т.д. С точки зрения пользователя эти расходы можно назвать внешними по отношению к поездке.

В качестве примера доходов пользователя можно назвать доходы, получаемые им от соединения двух видов деятельности, осуществляемой в разных географических пунктах.

В качестве доходов общества выступают доходы, связанные с тем, что эти населенные пункты посещаются и что в них выполняются различные виды деятельности.

Ранее мы уже делали предположение о том, что каждый едущий пытается максимизировать разницу между своими доходами и расходами.

Мы будем называть систему, в которой все едущие ведут себя в соответствии с этой индивидуальной максимизацией, системой, оптимизируемой пользователем или дескриптивной системой.

С другой стороны, мы можем представить себе систему, в которой любой выбор совершается таким образом, чтобы максимизировать разницу между доходами и расходами общества как целого. Такую систему будем называть общественно оптимизируемой или нормативной системой.

Решение в системе, оптимизируемой пользователем, и в общественно оптимизируемой системе не обязательно тождественны.

Пример.

1. Система маршрутов городского муниципального транспорта представляет систему нормативного распределения перевозок на транспортной городской сети.

2. Перевозка грузов в задаче коммивояжера представляет собой систему дескриптивного распределения перевозок на транспортной городской сети.

2.7. Дескриптивное и нормативное распределение потоков в сети

Будем предполагать, что расходы общества, связанные с конкретной перевозкой, состоят из суммы всех расходов отдельных пользователей транспортной сети.

Предположим также, что имеется фиксированная матрица поездок, то есть известны все компоненты вектора потоков .

Кроме этого имеют место сетевые ограничения и соотношения для роста расходов пользователей сети с увеличением транспортного потока вида

.

Задача состоит в отыскании такого распределения потоков в сети, чтобы все едущие пассажиры минимизировали свои собственные расходы.

Это будет задача дескриптивного распределения потоков в сети.

Задача нормативного распределения потоков в сети имеет те же ограничения и формулируется как задача минимизации суммарных расходов пользователей путем выбора потоков из условия:

при .

Эту задачу минимизации можно поставить и как задачу равновесия в сети. Это возможно в том и только в том случае, когда функция выпуклая при всех сочетаниях , что выполняется при обычных предположенных относительно издержек на поездку по дуге. То есть, тогда, когда издержки возрастают с возрастанием пути вдоль дуги.

В заключении необходимо отметить, что общем случае результаты дескриптивного и нормативного распределений различны.

Дескриптивное и нормативное распределения потоков в сети дают один и тот же результат лишь в том случае, когда на расходы пользователя не влияют транспортные потоки и, следовательно, нет перегруженности сети.

Пример.

Поездка в часы «пик», когда, например, на автомагистрали имеют место автомобильные пробки.