4.2. Методы математического программирования

Задача оптимизации транспортной сети – это задача оптимизации при ограничениях. Следовательно, для ее решения должны быть применены методы условий оптимизации.

Вследствие большого числа переменных и ограничений нельзя применять классический подход, использующий множители Лагранжа.

Если все ограничения линейны, а целевая функция также линейна (или кусочно-линейна), то тогда задача оптимизации транспортной сети формулируется как задача линейного программирования.

Если ряд переменных задачи являются целочисленными, например, уровень технической оснащенности дуги – 2, 4, 6 полос движения, то тогда мы получаем задачу целочисленного программирования.

Однако во всех этих задачах основной сложностью является большая размерность. Например, имеем n дуг, каждая из которых имеет m технических состояний. Тогда общее число комбинаций, которые подлежат анализу, будет составлять .

Пусть имеется n=30 – это небольшая сеть, а m=2, т.е. два технических состояния дуги. Тогда получается уже 2³⁰, т.е. более миллиарда возможных комбинаций!

Поэтому для решения оптимизационной задачи на сети требуются специальные методы решения. Одним из таких методов является так называемый метод ветвей и границ.

Рассмотрим его суть.

4.3. Метод ветвей и границ

«Ветви и границы» – это метод, в котором все возможные решения комбинаторной оптимизационной задачи проверяется весьма разумным способом. Чтобы объяснить метод «ветвей и границ», рассмотрим задачу минимизации суммарных расходов пользователей сети. То есть будем минимизировать функцию путем выбора вектора , который принадлежит множеству всех возможных допустимых решений:

.

Напомним, что в данном случае вектор – это вектор уровней технической оснащенности дуг сети , .

Для начала поделим множество на n подмножеств , где

.

Такой процесс называется «ветвлением».

Далее для каждого подмножества вычислим нижнюю границу целевой функции (суммарной издержки) , такую, что

, .

Затем вычисляем верхнюю границу supF для оптимального решения.

При этом supF является значением целевой функции суммарных издержек в точке допустимого решения.

Далее начинается процесс отбора подмножеств путем сравнения supF и для каждого подмножества :

• если , то подмножество не может содержать оптимальное значение искомого вектора ;

• если , то подмножество может содержать вектор .

Те подмножества , которые не могут содержать оптимальное решение, больше в проверке не нуждается. Они называются неактивными.

Другие, оставшиеся подмножества, называются активными и их исследуют дальше.

Если нас не интересуют все возможные оптимальные решения (с одними и теми же значениями целевой функции), а интересует только глобальный экстремум, то можно отбросить подмножества, для которых , оставляя только те, для которых сохраняется строгое равенство

.

Далее берется одно из активных подмножеств и делится на ряд подмножеств :

, .

Снова вычисляется нижняя грань целевой функции в каждом из n подмножеств, и затем выполняется процесс отбора, описанный ранее.

Вычисление прекращается, когда оптимальное решение найдено, и

для всех i.

В этом случае

,

где supF – верхняя граница для оптимального решения.

Эффективность метода «ветвей и границ» очень сильно зависит от способа вычисления нижних и верхних границ:

, .

Другой важный фактор, который влияет на эффективность – это метод ветвления.

Проиллюстрируем процедуру ветвей и границ графически (Рисунок 24).

Рисунок 24 – Схема «ветвления» исходного множества

Существует другое очень полезное свойство метода «ветвей и границ». Допустим, что удовлетворительным может быть решение, отличное от оптимального на 10%. Тогда можно будет заметить первоначальную верхнюю границу supF на 0,9supF и таким образом отбросить больше подмножеств . Эта процедура существенно сокращает время счета.

Метод «ветвей и границ» относится к методам дискретного программирования, к так называемой группе методов частичного перебора.

Геометрическая интерпретация метода «ветвей и границ» может быть следующей (Рисунок 25).

Рисунок 25 – Иллюстрация метода «ветвей и границ»

Для первого интервала имеем

следовательно, этот интервал является неактивным. Для второго интервала – аналогично

.

Для ситуация обратная, т.е.

.

Отметим для дальнейшего, что supF – это может быть наибольшая из возможных (на данном интервале) цена перевозки из А в В.

Из предыдущего неравенства следует, что рассматриваемый интервал является активным, и его следует подвергнуть процедуре разбиения на подинтервалы.

Что в этом случае представляет множество ? Или вообще? Это множества, соответствующие определенной, лучше сказать, заданной технической оснащенности дорог (все это для нашего примера).

Открытым в этом методе остается вопрос о нахождении supF.