Решение задач

4.1. Космический корабль перед отделением последней ступени ракеты-носителя двигался со скоростью . После отбрасывания последней ступени, его скорость стала равной , при этом отделившаяся ступень удаляется относительно корабля со скоростью . Какова масса отделившейся ступени, если масса корабля после отделения ступени равна .

Решение. Космический корабль двигался со скоростью относительно Земли. Поскольку скорость ракеты постоянна, рассматриваемая система является замкнутой. Поэтому согласно закону сохранения импульса

,

где - скорость отделившейся ступени в рассматриваемой системе отсчета. Согласно правилу сложения скоростей

,

По условию задачи , поэтому после подстановки получим

.

Решив полученное уравнение, получим массу отделившейся ступени

.

4.2. Две одинаковые тележки 1 и 2, на каждой из которых находится по человеку, движутся без трения по инерции навстречу друг другу по параллельным рельсам. Когда тележки поравнялись, с каждой из них на другую прыгнул человек в направлении перпендикулярном к движению тележек. В результате тележка 1 остановилась, а скорость тележки 2 стала . Найти первоначальные скорости тележек и , если масса каждой тележки (без человека) M, а масса каждого человека m.

Решение. Импульс всей системы в результате прыжков людей, не изменится, поэтому

.

Направим ось X в направлении движения 1-ой тележки и запишем последнее выражение в проекциях на эту ось:

,

.

Импульс 1-ой тележки в конечном состоянии запишется как:

.

Из этих двух уравнений, найдем первоначальные скорости 1-ой и 2-ой тележек:

, .

4.3. Частица 1 столкнулась с частицей 2, в результате чего возникла новая частица. Найти ее скорость и модуль , если масса у частицы 2 в раза больше, чем у частицы 1, а их скорости перед столкновением равны и , где компоненты скорости даны в СИ.

Решение. Рассматриваемая система состоит из 2-х частиц. Силы, возникающие при ударе, будут внутренними, поэтому рассматриваемая система является замкнутой. Согласно закону сохранения импульса, импульс такой системы в результате столкновения не изменится:

.

Разделим записанное уравнение на и, учитывая, что , получим:

,

откуда

.

Подставив в полученное выражение и , найдем вектор скорости образовавшейся частицы:

,

с учетом того, что , получим:

.

Модуль вектора скорости равен

м/с.

4.4. В результате взрыва камень разлетается на три части. Два осколка движутся под прямым углом друг к другу: первый массой - со скоростью , второй осколок массой - со скоростью . Третий осколок отлетает со скоростью . Какова его масса и в каком направлении он движется.

Решение. I способ решения. Рассматриваемая система состоит их трех осколков. Внешней силой является сила тяжести. Но так как время разрыва камня очень мало, импульс внешней силы можно считать равным нулю, а силы, возникающие при взрыве, будут внутренними, поэтому рассматриваемая система является замкнутой. Следовательно, импульс камня до разрыва равен сумме импульсов осколков после разрыва:

.

Зададим направление осей OX и OY как показано на рис.34. Зная направления векторов и , найдем построением вектор :

.

Как видно из рисунка

и .

Учитывая, что , и , найдем массу третьего осколка:

.

Угол, который образует вектор с осью OX, равен

.

II способ решения. Согласно закону сохранения импульса:

.

Составим уравнения в проекциях на оси OX и OY:

и ,

где и - проекции вектора на оси OX и OY соответственно. Из последних двух выражений найдем и .

Модуль вектора равен:

.

Как и при решении задачи первым способом, найдем массу третьего осколка:

.

Вектор образует с осью OX угол

.

4.5*. Система состоит из двух шариков массами и , которые соединены между собой невесомой пружинкой. В момент шарикам сообщили скорости и , после чего система начала двигаться в однородном поле тяжести Земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимости от времени импульса этой системы в процессе движения и радиус-вектора ее центра масс относительно его начального положения.

Решение. а) Запишем уравнение движения системы (второй закон

Ньютона) в общем виде:

.

Система движется в однородном поле тяжести Земли, поэтому сила тяжести будет единственной внешней силой, действующей на систему:

.

Разделив переменные, приведем уравнение к виду, удобному для интегрирования:

.

Проинтегрировав левую часть этого выражения от до , а правую от 0 до t, и учитывая, что начальный импульс системы равен , найдем зависимость от времени импульса системы в процессе движения:

.

б) Радиус-вектор центра масс в произвольный момент времени относительно его начального положения равен:

.

Найдем зависимость , учитывая, что импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс и :

.

Подставив значение в уравнение для и проведя интегрирование, получим искомую величину:

,

.

4.6. Цепочка массы и длины висит на нити, касаясь поверхности стола своим нижним концом. После пережигания нити цепочка упала на стол. Найти полный импульс, который она передала столу.

Р ешение. Выберем малый элемент цепочки длиной на высоте x (рис.35).

Рассматривая свободное падение этого элемента, найдем его скорость у поверхности стола:

.

Масса элемента цепочки длиной равна

,

а импульс, переданный столу:

.

Проинтегрировав левую часть этого выражения от 0 до p, а правую от 0 до l, найдем полный импульс, переданный цепочкой столу:

.

4.7*. Ракета, масса которой в начальный момент времени , запущена вертикально вверх. Относительная скорость выхода продуктов сгорания , расход горючего (где - масса горючего, сжигаемого в единицу времени). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите ускорение ракеты через время после начала ее движения. Поле силы тяжести считать однородным.

Решение. Уравнение движения тела переменной массы (уравнение Мещерского) имеет вид:

.

Учитывая, что ракета движется в однородном поле тяжести Земли, и сила тяжести - единственная внешняя сила, действующая на ракету, уравнение движения в проекциях на вертикальную ось X с положительным направлением вверх примет вид (рис.36):

.

Масса ракеты через время после начала ее движения равна , а ускорение ракеты:

.

4.8*. Ракета движется в отсутствие внешних сил, выпуская непрерывную струю газа со скоростью , постоянной относительно ракеты. Найти скорость ракеты в момент, когда ее масса равна , если в начальный момент времени она имела массу и ее скорость была равна нулю.

Решение. Запишем уравнение движения тела переменной массы (уравнение Мещерского):

.

Учитывая, что по условию , преобразуем уравнение к виду удобному для интегрирования:

.

Проинтегрировав левую часть этого выражения от 0 до , а правую от до , найдем искомую скорость ракеты:

.

Знак «–» показывает, что скорость ракеты противоположена направлению скорости струи газа. По условию задачи - const, поэтому скорость ракеты не зависит от времени сгорания топлива, а определяется только отношением начальной и конечной масс ракеты.