4. Основные свойства пределов
Пусть
и
– функции, для которых существуют
пределы при
(или при
):
,
.
Сформулируем основные свойства пределов.
1. Предел суммы функций равен сумме пределов этих функций, т.е.:
(4.13)
2. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций, т.е.:
(4.14)
3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е.:
(4.15)
4. Предел от константы равен данной константе:
(4.16)
5. Если в некоторой
окрестности точки x0
(или при достаточно больших x)
,
то:
(4.17)
6. Если
,
то:
(4.18)
5. Замечательные пределы
Первый замечательный предел:
(4.19)
Второй замечательный предел:
(4.20)
где e=2,718281… – трансцендентное число.
6. Способы вычисления пределов
Неопределенность
типа
.
Пример 4.8.
Вычислить
Решение:
Здесь предварительно
имеем:
,
где
и
– корни квадратного трехчлена.
1) Числитель
;
;
;
.
2) Знаменатель
;
;
;
.
Неопределенность
вида
.
Пример 4.9.
Вычислить
Решение:
,
так как
;
;
и
при
.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте понятие числовой последовательности. 2. Какая числовая последовательность называется ограниченной? 3. Приведите пример монотонной ограниченной числовой последовательности. 4. Приведите пример монотонной неограниченной числовой последовательности. 5. Какая точка называется предельной для данной числовой последовательности. 6. Сформулируйте теорему Больцано-Вейерштрассе. 7. Сформулируйте понятие предела числовой последовательности. 8. В чем заключается геометрический смысл предела числовой последовательности? 9. Сформулируйте понятие функции. Способы задания функции. 10. Сформулируйте понятие предела функции. 11. Запишите основные свойства пределов. 12. Запишите первый и второй замечательные пределы.
Лекция №5 дифференциальное исчисление функции одной переменной
План
1. Непрерывность функции
2. Понятие производной
3. Таблица основных формул дифференцирования
4. Правила дифференцирования
5. Дифференциал
6. Производные высших порядков
7. Возрастание и убывание функции
1. Непрерывность функции
Представление о
непрерывности функции интуитивно
связано у нас с тем, что ее графиком
является плавная, нигде не прерывающаяся
линия. При рассмотрении графика такой
функции
мы видим, что близким значениям аргумента
соответствуют близкие значения функции.
Если независимая переменная
приближается к точке
,
то значение функции
неограниченно приближается к значению
функции в точке
(рис. 5.1).
Дадим строгое определение непрерывности функции.
Определение 5.1.
Функция
называется непрерывной в точке
,
если: 1) эта функция определена в некоторой
окрестности точки
;
2) существует предел
;
3) этот предел равен значению функции в
точке
,
т.е.
.
Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т. п.), то она называется непрерывной в этой области.
Часто приходится
рассматривать непрерывность функции
в точке
справа и слева. Пусть функция
определена в точке
.
Если
,
то говорят, что функция
непрерывна в точке
справа.
Если
,
то функция
непрерывна в точке
слева.
Введем теперь понятие точки разрыва.
О
пределение
5.2. Точка
называется точкой разрыва функции
,
если она принадлежит области определения
функции или ее границе и не является
точкой непрерывности.
В этом случае
говорят, что при
функция разрывная. Это может произойти,
если в точке
функция не определена, или не существует
предел функции при
,
или, наконец, если предел функции
существует, но не равен значению функции
в точке
:
.
Точки разрыва бывают двух типов.
Определение 5.3.
Точка разрыва
функции
называется точкой разрыва I
рода, если существуют оба односторонних
предела
и
.
Определение 5.4.
Точка разрыва
функции
называется точкой разрыва II
рода, если хотя бы один из двух пределов
или
стремится к бесконечности.
Пример 5.1. Рассмотрим функцию:
(5.1)
Даная функция
имеет в точке
разрыв первого рода, поскольку для нее
существуют пределы при
и справа и слева:
(5.2)
(5.3)
Пример 5.2. Рассмотрим следующую функцию:
(5.4)
Данная функция
имеет в точке
разрыв
второго рода, поскольку для нее не
существуют конечные пределы при
ни слева, ни справа:
(5.5)
(5.6)
На рис. 5.2 представлены
графики двух функций, которые были
рассмотрены в примерах 5.1
и 5.2
.