ДЕПАРТАМЕНТ ПО АВИАЦИИ

МИНИСТЕРСТВА ТРАНСПОРТА И КОММУНИКАЦИЙ

РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Минский государственный высший

авиационный колледж

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

СТАТИСТИКА

Методическое руководство

по выполнению курсовой работы

Минск

2010

УДК 519.2(075.8)

ББК 22.171

Т 33

Составитель

А. Н. НАРОЛЬСКАЯ

Рецензенты:

И. Л. ДУДНИКОВ

заведующий кафедрой «Техническая эксплуатация

авиационного оборудования»,

кандидат технических наук, доцент

В. П. ВАСИЛЬЕВ

профессор кафедры «Математика и информатика»

Минского филиала Московского государственного

университета экономики, статистики и информатики,

кандидат физико-математических наук

Обсуждено и рекомендовано к изданию

Научно-методическим советом МГВАК

(протокол от 28 сентября 2010 года № 2)

Т 33 Теория вероятностей и математическая статистика: методическое руководство

по выполнению курсовой работы / сост. А. Н. Нарольская. – Минск: МГВАК,

2010. – 36 с.

Данное методическое руководство составлено в соответствии с программой дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», содержит задания для курсовой работы и типовые примеры их решения, рекомендации по выполнению и оформлению курсовой работы по данной дисциплине.

Издание предназначено для курсантов третьего курса специальности 1-37 04 02-01 «Техническая эксплуатация авиационного оборудования (приборное и светотехническое оборудование).

© МГВАК, 2010

B ведение

Методическое руководство составлено с учетом специфики преподавания дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика». Оно содержит два задания для курсовой работы, типовые примеры их решения в объеме, достаточном для самостоятельного выполнения курсовой работы по данной дисциплине.

Каждое задание связано с решением прикладной задачи. Выполняя отдельные этапы задания, курсант должен продемонстрировать умение пользоваться теми или иными методами решения задач теории вероятностей и математической статистики.

Методическое руководство состоит из трех разделов. Первые два

содержат теоретический материал для решения задач заданий 1 и 2. Для обоих заданий приведены типовые примеры решения соответствующих задач и варианты заданий для курсовой работы.

Третий раздел содержит материал, который будет полезен для правильного оформления курсовой работы.

При подготовке данного методического руководства были использованы публикации [1, 2].

Задание 1

Сравнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата

1.1 Задача

Летательный аппарат (ЛА) состоит из:

• m двигателей с вероятностью отказа P₁ , P₂ , …, P_m ;

• n дублирующих систем энергоснабжения с вероятностью отказа

P_1э , P_2э , …,;

• N вспомогательных подсистем с вероятностью отказа P_С

каждая.

Катастрофа наступает, если выходят из строя:

• любые (r+1) и более двигателей;

• все системы энергоснабжения;

• хотя бы одна из N вспомогательных подсистем.

В случае отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью P_D .

Определить вероятность катастрофы ЛА и сравнить ее с вероятностью катастрофы ЛА без дублирующих систем (один двигатель с вероятностью катастрофы P₁, одна система энергоснабжения с вероятностью отказа P_1э и N вспомогательных подсистем с вероятностью отказа P_С каждая), предполагая, что все упомянутые выше системы и подсистемы ЛА функционируют независимо друг от друга.

В обоих случаях сравнить вероятности катастроф, связанных с отказом:

• двигателей;

• систем энергоснабжения;

• вспомогательных подсистем.

1.2 Типовой пример решения задачи

Дано:

m

r

n

N

P1

P2

P3

P4

PD

P1э

P2э

P3э

PС

4

3

3

103

10-3

3·10-3

4·10-3

10-2

0,5

10-3

5·10-3

10-2

10-8

Решение:

М а т е м а т и ч е с к а я ч а с т ь

Введем обозначения событий:

D₁, D₂, D₃, D₄ – отказ 1-го, 2-го, 3-го и 4-го двигателей соответственно;

B₁, B₂, B₃ – отказ 1-й, 2-й и 3-й системы энергоснабжения соответственно;

C_i – отказ i-й вспомогательной подсистемы, i = ;

Е_К – катастрофа;

Е_KD, Е_KЭ, Е_KC – катастрофы, связанные с отказом двигателей, систем энергоснабжения и вспомогательных подсистем соответственно.

Вероятность катастрофы ла с дублирующими системами

В этом случае

. (1.1)

Перейдем к противоположным событиям и будем иметь:

. (1.2)

Вследствие соотношения двойственности из равенства (1.2) получим:

. (1.3)

Тогда вероятность катастрофы будет определяться по формуле:

. (1.4)

Вследствие независимости событий из равенства (1.4) получим:

(1.5)

Рассмотрим структуру событий Е_KD, Е_KЭ, Е_KC и найдем их вероятности катастроф, связанных с отказом:

• двигателей Е_KD;

• систем энергоснабжения Е_KЭ;

• вспомогательных подсистем Е_KC .

Рассмотрим структуру событий Е_KD и найдем P(Е_KD) = P_KD .

Так как событие Е_KD – это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа двигателей, а по условию задачи катастрофа, связанная с отказом двигателей, наступает, если выходят из строя любые (r + 1) и более двигателей из m двигателей, а в случае отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью P_D .

Значит,

.

Так как в нашем случае число двигателей m = 4, а r = 3; то

r + 1 = 3 + 1 = 4.

Следовательно,

,

где Е_KD3 – событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа любого r = 3 из m = 4 двигателей;

Е_KD≥4 – событие, состоящее в том, что катастрофа произошла в

связи с выходом из строя любых (r+1) = 4 и более двигателей, а в нашем случае Е_KD≥4 = Е_KD4 – это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа всех четырех двигателей. Из этого следует, что

. (1.6)

В свою очередь, катастрофа, связанная с отказом r = 3 двигателей

(при работающих остальных), не обязательно влечет за собой катастрофу (а с вероятностью P_D), значит,

, (1.7)

тогда

.

Так как события Е_KD3 и Е_{KD ≥ 4} несовместны, то

а для нашего случая, учитывая выражение (1.6), получим:

С другой стороны, катастрофа, связанная с отказом r = 3 двигателей (при работающих остальных) из четырех имеющихся у ЛА по условию задачи, есть следующее событие:

(1.8)

то есть работает только 4-й, либо 3-й, либо 2-й, либо 1-й двигатель из четырех имеющихся у ЛА.

Доказать, что события E_KD3 и Е_{KD ≥ 4} несовместны, можно следующим образом:

Согласно равенствам (1.7) и (1.6) имеем:

в соответствии с выражением (1.8) находим далее:

Используя тот факт, что и , получим:

Но если произведение двух событий равно невозможному событию (пустому множеству), то такие события являются несовместными.

______________________

Примечание – и – прерванное и продолженное преобразование текущего выражения.

По определению условной вероятности имеем:

а вследствие независимости событий далее находим:

Используя равенство (1.7) и несовместимость его слагаемых, получим:

Вследствие независимости всех событий и так как , будем далее иметь:

Так как P (D_i) = P_i , i = 1,4 и P (E_K / E_D3) = P_D , то

Если выполняется условие

(1.9)

для всех и учитывая, что значение вероятности случайного события меньше единицы, то

,

а также значит, что

.

Тогда имеем

(1.10)

(1.10)

Подставив значения, данные из условия задания, получим:

(1.11)

Рассмотрим структуру событий Е_КЭ и найдем Р(Е_КЭ) = Р_КЭ .

Е_КЭ ≡ В₁ · В₂ · В₃ – катастрофа, связанная с отказом всех трех систем энергоснабжения (n = 3 по условию задачи).

Так как все события В₁ , независимы, имеем:

(1.12)

Подставив значения, данные из условия задания, получим

(1.13)

Рассмотрим структуру событий Е_КС и найдем Р(Е_КС) = Р_КС . Событие Е_КС наступает, если отказывает хотя бы одна из вспомогательных подсистем. Значит,

По закону двойственности

Так как события независимы, получим:

Поскольку, получим:

Тогда

Если выполняется условие:

то

(1.14)

Подставив значения, данные из условия задания, получим:

(1.15)

Р а с ч е т н а я ч а с т ь

Переходим к числовым расчетам. Вычислим вероятность

катастрофы по выведенной нами формуле (1.5). Так как в нашем случае выполняется условие (1.9), то

Если выполняется условие и и , то будем далее иметь

Видно, что , так как .

Из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом вспомогательных подсистем, является определяющей.