10. Режими роботи лінії без втрат. Стоячі хвилі

Дослідимо закон розподілу діючих значень напруги та струму вздовж лінії без втрат. З цією метою скористуємось рівняннями лінії (1.13) та (1.34) у комплексній та гіперболічній формах.

Прийнявши в (1.13) уявний коефіцієнт розповсюдження =j=j2/, отримаємо для будь-якої точки лінії на відстані x' від кінця:

(1.38)

Вхідний в ці рівняння коефіцієнт відбивання подає собою в загальному випадку комплексну величину.

Вирази (1.38) наочно свідчать про те, що комплексна напруга в будь-якій точці х¹ складається з падаючої та відбитої хвиль напруги, амплітуди яких знаходяться в співвідношенні 1: n₂; в свою чергу комплексний струм рівний різниці падачої та відбитої хвиль струму з тим же співвідношенням амплітуд.

Точкам x'=k/2 (k - ціле число), що задовольняють умові

(1.39)

Відповідає максимальне діюче значення U, бо при цьому фази падаючої та відбитої хвиль напруги співпадають.

На відстані/4 від цих точок падаюча та відбита хвилі виявляються у протифазі й діюче значення напруги має мінімум. При цьому задовольняється умова

(1.40)

Координати максимумів та мінімумів напруги, що є багатозначними функціями n₂ і , не залежать від часу, вони залишаються на одному і тому же місці; мінімум напруги розташується посередині між двома сусідніми максимумами напруги, причому відстань між найближчими максимумами (або мінімумами) складає /2.

Таким чином, крива діючих значень напруги вздовж лінії без втрат подає хвилеподібну криву, максимуми та мінімуми якої чередуються (рис. 11, б та г).

Рис.11 Діючі значення напруги та струму вздовж лінії без втрат.

Аналогічні міркування наводять до висновку, що й крива діючих значень струму вздовж лінії без втрат подає хвилеподібну криву, зміщенну відносно кривої діючих значень напруги на чверть довжини хвилі. Місце максимумів напруги співпадають з місцем мінімумів струму, й, навпаки, мінімуми напруги співпадають з максимумами струма.

За відсутності відбитої хвилі (n₂=0) діючі значення напруги та струма вздовж лінії без втрат не змінюються.

Чим більше наближається коефіцієнт відображенняn₂ до одиниці, тих більше різняться максимуми і мінімуми напруги (або струма).

Приn₂=1, т. ч. при рівності амплітуд прямої та зворотної хвиль, в лінії встановлюються стоячі хвилі напруги та струму. Криві діючих значень напруги і струма вздовж лінії подають собою в цьому випадку «випрямлені» синусоїди; на лінії утворяться вузли, т. ч. точки, в яких напруга та струм дорівнюють нулю, і пучності т. ч. точки, в яких напруга або струм максимальні. Вузли напруги співпадають з пучностями струму і, навпаки, вузли струму співпадають з пучностями напруги. Відповідно вузли (або пучності) напруги та струму зсунуті на чверть довжини вільні відносно друг друга.

На підставі наведеного вище виразу для коефіцієнту відбивання n₂ можна укласти, що умоваn₂=1 здійснюється у трьох випадках: при Z₂=(холостий хід), Z₂=0 (коротке замикання) і Z₂=jх (реактивне навантаження). Цим умовам відповідають стоячі хвилі, що виникають в лінії без втрат.

Розподіл діючих значень напруги та струму вздовж лінії для холостого ходу і короткого замикання ілюструється на рис. 11. а і д. Для порівняння на рис. 11 показаний розподіл напруги та струму для других режимів роботи лінії.

При активному навантаженні Z₂=r₂=3Z_в, n₂=0.5 (випадок б) максимуми і мінімуми напруги та струму співпадають по свойому місцеположенню з аналогічними значеннями для режиму холостого ходу, при активному навантаженні Z₂=r₂=Z_в/3, n₂=-0.5 (випадок г) максимуми і мінімуми розміщені так же, як при короткому замиканні; при погодженому навантаженні Z₂=r₂=Z_в, n₂=0.5 (випадок а) криві напруги та струму зображаються прямими, паралельними осі абсцис.

Стоячі хвилі легко досліджуються з допомогою рівнянь (1.34) ліній без втрат.

При холостому ході (I₂=0)

(1.41)

Вузли напруги знаходяться в точках, для яких або звідки .

Пучності напруги знаходяться в точках, для яких або звідки .

Розімкнений кінець лінії співпадає з вузлом струму та пучністю напруги (рис 11, а).

Як видно з (1.41), струм випереджає по фазі напругу на 90⁰, коли sin (2х'/) і cos (2х'/) мають однаковий знак (0 x'/4;/2 x' 3/4 і т. д.), і відстає на 90⁰ від напруги, коли знаки sin (2х'/) і cos (2х'/) різні (/4 x'/2; 3/4 x)'

Вхідний опір розімкненої лінії без втрат

(1.42)

т. ч. число реактивне, і характер його визначається довжиною лінії та частотою (або довжиною хвилі). Зміна абсолютного значення і характеру вхідного опору в залежності від довжини лінії показана на рис.12.

Від х=0 до х=/4, від х=/2 до х=3/4 і т. д. лінія подає собою ємнісний опір, а від х=/4 до х=/2, від х=З/4 до х= і т. д. - індуктивний опір. При х=0,/2, і т. д. лінія може бути представлена паралельним резонансним контуром, а при х=/4, 3/4, 5/4 і т. д. - послідовним резонансним контуром.

Рис. 12

При короткому замиканні, поклавши в (1.34) , отримаємо:

(1.43)

На замкнутому кінці лінії x'=0 і в точках, усунених від нього на ціле число півхвиль x'=k/2, знаходяться вузли напруги і пучності струму, а в точках, усунених від кінця на непарне число чвертей хвиль x'=(2k+1)/2 знаходяться пучності напруги та вузли струму (рис.11, д).

Як видно з (1.43), струм відстає по фазі від напруги на 90⁰, коли sin(2х'/) і cos(2х'/) мають однакові знаки (0 x'/4;/2 x' 3/4 і т. д.), і випереджає на 90⁰ напругу, коли знаки sin(2х'/) і cos(2х'/) різні (/4 x'/2, 3/4 x' і т. д.).

Вхідний опір короткозамкненої лінії без втрат

(1.44)

також чисто реактивне і в залежності від довжини лінії і частоти може бути індуктивним або ємнісним. Зміна вхідного опору в залежності від довжини короткозамкненої лінії показана на рис.13.

Рис. 13

З нього видно, що від х=0 до х=/4, від х=/2 до х=З/4 і т. д. лінія подає собою індуктивний опір, а від х=/4 до х=/2, від х=3/4 до х= і т д. - ємнісний опір. При х=0,/2; і т. д. лінія може бути замінена послідовним резонансним контуром, а при х=/4, 3/4, 5/4 і т. д. - паралельним резонансним контуром.

Для одержання лінії, погодженої з навантаженням, необхідно вмикати індуктивні або ємнісні елементи паралельно і послідовно приймачу. В якості такого елемента при високих частотах може служити короткозамкнена або розімкнена лінія без втрат.

Довжину розімкненої лінії без втрат х можна визначити при заданому Х_c з формули

Цю ж довжину х можна знайти і з кривої Z_x наведеної на рис.12, якщо побудова виконана достатньо точно. Довжину короткозамкненої лінії без втрат х можна визначити пpи заданому X_L з формули

Довжину х можна також знайти прямо з кривої Z_k., наведеної на рис.13.

При чисто реактивному опорі навантаження в лінія також будуть стоячі хвилі. Дійсно, як було щойно показане, ємнісний та індуктивний елементи можуть бути замінені відрізками розімкненої чи короткозамкненої лінії. Отже, лінія з реактивним опором навантаження не відрізняється від розімкненої чи короткозамкненої лінії більшої довжини. Тільки в кінці лінії з реактивним опором навантаження не буде ні пучності, ні вузла струму чи напруги (рис. 14).

Рис. 14

Припустимо тепер, що у лінії без втрат активний опір навантаження Z_н=r_н. Позначивши Z_в/r_н=К і підставив у вираз (1.34), після простих перетворень отримаємо

і при

У цих рівняннях напруга та струм представлені сумами двох доданків. Перше з них - біжуча хвиля, а друге - стояча хвиля. Таким чином, якщо лінія не погоджена з навантаженням (К 1), то напруга і струм в лінії можна представити сумою біжучих та стоячих хвиль. Чим сильніше К відрізняється від одиниці в ту чи іншу сторону, тим різче виявляються стоячі хвилі. При К=0 (холостий хід) і К= (коротке замикання) в лінії спостерігаються тільки стоячі хвилі. Чим ближче К до одиниці, тих різче проявляються бегучі хвилі. Стоячі хвилі будуть відсутні при К=1 чи r_н=Z_в, т. ч. при погодженому навантаженні.

Слідує зазначити, що наявність хоч би найменших втрат в лініях приводить до того, що діючі значення напруга та струм не знижуються до нуля, а сягають деяких мінімальних значень у точках, відповідних вузлам.

Для кількісної оцінки ступеню погодження лінії з навантаженням використовується коефіцієнт біжучої хвилі, під яким розуміється відношення мінімуму в кривій розподілу напруги чи струму до максимуму тієї ж величини:

У реальних умовах коефіцієнт бегучої хвилі звичайно не нижче 0.5 - 0.6.

Криву розподілу діючих значень напруги вздовж лінії використовують на практиці для виміру довжини хвилі чи частоти. Довжина хвилі визначається подвійною відстанню між сусідніми максимумами або мінімумами кривої розподілу, а частота обчислюється по довжині хвилі.