- •Методичні вказівки до вивчення курсу «теорія електромагнітного поля»
- •7.09.08.03 - «Електронні системи»
- •Лінії з розподіленими параметрами
- •1. Первинні параметри однорідної лінії
- •Диференційні рівняння однорідної лінії
- •3. Періодичний режим в однорідній лінії
- •4. Вторинні параметри однорідної лінії
- •5. Вхідний опір лінії
- •7. Погоджене навантаження лінії
- •Лінія без спотворень
- •9. Лінія без втрат
- •10. Режими роботи лінії без втрат. Стоячі хвилі
- •11. Потужність в лінії без втрат
- •12. Лінія як трансформатор що узгоджує
- •13. Лінія як елемент резонансного ланцюга
- •14. Перехідні процеси в лініях з розподіленими параметрами
- •15. Дослідження перехідних процесів в лініях з розподіленими параметрами за допомогою перетворення лапласа
-
Диференційні рівняння однорідної лінії
Напруга і струм в лінії є функціями двох незалежних перемінних: просторової координати х, що визначає місце спостереження, та часу t, який визначає момент спостереження. Нашою задачею є знаходження просторово-тимчасового розподілу величини струму у лінії i(x, t) та напруги поміж дротами u(х, t).
Складемо диференційні рівняння, яким задовольняють напруга і струм у будь-якому перетині двохпровідної лінії.
Домовимося називати верхній дріт (рис.3) двохпровідної лінії прямим, а нижній - зворотним. Позитивні напрями струму та напруги оберемо, як показано на рис 3.
Хай відомі первинні параметри однорідної лінії: r0 - опір прямого та зворотного дротів, L0 - індуктивність петлі, що утворюється прямим та зворотним дротами, g0 - провідність (відплив) поміж дротами. С0 - ємність між дротами.
Довгу лінію можна уявити у вигляді множини сполучених у ланцюжок нескінченно малих елементів довжиною dx, кожний з яких має опір r0dx та індуктивність L0dx, провідність g0dx і ємність C0dx (рис.3). Опір r0dx та індуктивність L0dx будемо рахувати включеними у один дріт.
Позначимо через х відстань від початку лінії до поточного елемента її довжини. Миттєві значення напруги та струму на початку обраного елемента лінії dx позначимо через u та i, а на початку наступного - через та
Рис. 3
Для елемента лінії довжиною dx на підставі законів Кірхгофа
Наводячи подібні члени і нехтуючи величиною другого порядку малості та скорочуючи на dx, одержуємо диференційні рівняння
(1.1)
Ці рівняння називають телеграфними рівняннями. Вони можуть бути вирішені однозначно при використанні початкових й граничних умов. Початковими умовами будуть значення напруги та струму на початку або в кінці лінії в момент часу, прийнятий за нуль. Граничні умови визначаються зв'язками між напругою та струмом на початку або в кінці лінії, які залежать від заданого режиму роботи лінії.
Розв'язання зазначених вище рівнянь дає функціональні залежності напруги та струму у лінії від перемінних х та t.
3. Періодичний режим в однорідній лінії
Розглянемо періодичний режим в довгій лінії при синусоїдальній напрузі джерела живлення. Позначимо комплексні діючі значення напруги та струму на відстані х від початку лінії через та.
Застосовуючи комплексну форму запису, одержуємо на підставі (1.1):
(1.2)
Де Z0 = r0+jL0 - комплексний опір та Y0 = g0+jC0 - комплексна провідність лінії одиничної довжини.
Зважаючи на те, що комплексні величини та не залежать від t і є лише функціями х, при переході від рівнянь (1.1) до (1.2) часткові похідні по х замінені звичайними.
Продифференцюємо рівняння (1.2):
(1.3)
і замінимо та згідно (1.2). В результаті отримаємо
(1.4)
Де
Позначимо квадратний корінь з комплексного множника при чи через
(1.5)
Назвемо цю величину коефіцієнтом розповсюдження. Рівняння (1.3) та (1.4) записуються у виді
(1.6)
Маємо однакові однорідні лінійні диференційні рівняння другого порядку. Рішення лінійного диференційного рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд
(1.7)
Де - комплексні постійні інтегрування.
Струм знаходиться підстановкою (1.7) у перше рівняння (1.2)
чи
(1.8)
Де
(1.9)
називається хвильовим опором лінії.
Хвильовий опір і коефіцієнт розповсюдження називаються вторинними параметрами однорідної лінії.
Миттєве значення напруги у точці x рівно явної частини виразу .
(1.10)
Тут1 та 2 - аргументи комплексних величини та .
Миттєве значення струму має вигляд
(1.11)
де .
Таким чином, миттєві значення напруги і стуму у будь-якій точці лінії складаються з двох функцій. Кожен з додатків можна розглядати як біжучу хвилю, яка рухається в напрямку зростання чи зменшення координати х та згасаючу в напрямку руху. Кожен з додатків в будь-якій фіксованій точці х = x1 подає собою гармонійну функцію з постійною амплітудою. Якщо ж лічити момент часу t фіксованим і розглядати зміну миттєвої напруги вздовж лінії (т. ч. в залежності від х), то отримаємо згасаючу гармонійну хвилю напруги (струму), амплітуда якої зменшується із зростанням х, т. ч. по мірі відходу від початку лінії до кінця.
Величина , що характеризує зміну амплітуди хвилі на одиницю довжини лінії, називається коефіцієнтом згасання, а величина , що характеризує зміну фази на одиницю довжини лінії, називається коефіцієнтом фази.
Згасання амплітуди хвилі вздовж лінії обумовлюється втратами в лінії, а зміна фази кінцевою швидкістю розповсюдження електромагнітних коливань.
Обидва коефіцієнта та входять в комплексний параметр =+j, який характеризує розповсюдження хвилі напруги та струму по лінії.
Основними характеристиками біжучої хвилі є фазова швидкість та довжина хвилі.
Фазовою швидкістю хвилі називається швидкість переміщення фази коливання, що впродовж часу t та по мірі збільшення відстані х, пройденого хвилею, залишається постійної, т. ч. , звідкіля слідує, що і
Аналогічне дослідження другого додатку правої частини рівності (1.10) дало би для фазової швидкості таке ж значення, але із зворотним знаком. Звідси укладаємо, що ці додатки можуть розглядатися як хвилі, які рухаються у протилежних напрямках.
Довжиною хвилі називається відстань між найближчими двома точками, взятих в напрямі розповсюдження хвилі, фази коливання у яких розрізнюються на . Отже, для першого додатку рівності (1.10) отримаємо , звідки і , т. ч. за час, рівний періоду, хвиля пробігає відстань, рівну довжині хвилі. Одержана формула виражає залежність, існуючу між довжиною хвилі і коефіцієнтом фази лінії.
Хвилю, яка рухається від початку лінії, називають прямою, а яка рухається від кінця лінії - оберненою (зустрічною).
Згасаюча пряма хвиля представлена на рис.4. Для її зображення будують обвідні і вписують хвилю в область, обмежену обвідними.
Рис. 4
Оберемо позитивні напрями напруг та струмів окремих хвиль. Так як обидва додатки в правій частині рівняння (1.7), що визначають напругу U, входять із позитивними знаками, то обираємо позитивними напрямами напруг прямої і оберненої хвиль напрями, які співпадають із позитивним напрямом напруги , т. ч. від прямого дроту лінії до зворотного.
Для струму існують дві можливості. Можна залишити обидва додатки в правій частині рівності (1.8) із різними знаками або ж поставити між додатками знак плюс, а мінус включити в склад другого додатка. Будемо визначати струм , як різницю струмів прямої та оберненої хвиль, т. ч. позитивний напрямок струму прямої хвилі оберемо співпадаю чим із позитивним напрямком струму , а позитивний напрямок струму оберненої хвилі - протилежним позитивному напрямку струму .
У відповідності із цим можна записати
;
,
де;.
Напруга та струм прямої і відповідно оберненої хвиль зв'язані законом Ома:
.
Це співвідношення пояснює зміст назви - хвильовий опір.
Запроваджені поняття про пряму та обернену хвилі у лініях при синусоїдному встановленому режимі полегшують уявлення та аналіз процесів. Фізично існують у лінії тільки результуючі струм та напруга , і розкладання їх на прямі та обернені хвилі слідує рахувати лише зручним заходом.
Криві розподілу миттєвих значень напруг та струмів також мають хвилеподібний характер (рис.5). Вони показують, що в кожний момент часу результуючі струми та напруги, а також струми та напруги прямої та оберненої хвиль, у різних точках лінії можуть розрізнятися не тільки по значенню, але й по знаку.
Рис. 5
Постійні інтегрування та знаходяться у прямій залежності від напруги та струму на початку лінії (граничні умови), якщо вони задані. При x=0
;
,
звідкіля;.
Введемо поняття коефіцієнту відбивання хвилі на початку лінії:
, (1.12)
Де - вхідний опір лінії.
Підстановка виразу для та до (1.7) та (1.8) з урахуванням (1.12) дає:
(1.13)
Якщо задані граничні умови на кінці лінії, то краще відраховувати відстань від кінця, прийнявши координату х'.
Замінюючи у рівняннях (1.7) та (1.8) х на (l - х)' й використовуючи задані граничні умови; одержуємо для та , наступні вирази:
;.
Підставив їх до (1.7) та (1.8), отримаємо остаточні вирази для та :
(1.14)
Де аналогічно попередньому n2 - коефіцієнт відбивання у кінці лінії:
; (1.15)
- вихідний опір на кінці лінії або у випадку приймача вхідний опір його.
Система рівнянь (1.14) може бути переписана у наступному виді.
(1.16)
Рівняння (1.14) та (1.16) подають собою рівняння лінії у показовій (або хвильовій) формі при відліку відстані від кінця лінії. Вони перетворюються за допомогою гіперболічних функцій:
(1.17)
Поклавши у цих рівняннях х' = l, отримаємо рівняння лінії у гіперболічній формі, що виражають напругу та струм на початку через напругу та струм у кінці лінії:
(1.18)
Показова і гіперболічна форми запису рівнянні лінії (1.14) та (1.17) взаємно доповнюють друг друга й застосовуються в залежності від умов задачі.
Холостий хід, коротке замикання лінії
Розглянемо холостий хід лінії. Якщо в режимі навантаження напруга та струм у кінці лінії були та , то після відключення навантаження напруга на кінці її при незмінній напрузі на початку лінії зміниться. Змінивши напругу на початку лінії так, щоб напруга у кінці лінії залишилася рівною , з (1.18) при холостому ході отримаємо
Якщо тепер, не змінюючи напруги на початку лінії, замкнути її на кінці, струм на кінці уже не буде рівний і у ряді випадків зросте. Змінивши напругу на початку лінії так, щоб струм в кінці замкненої лінії став рівним , з (1.18) отримаємо
На підставі цих співвідношень можна написати
Отримані формули показують, що дійсні струм та напруга у будь-якій точці лінії можуть бути розкладені на складові холостого ходу та короткого замикання, чим інколи зручно користуватися при розрахунках. Наприклад, при розрахунку розподілу струму та напруги вздовж навантаженої лінії з втратами можна спочатку знайти складові напруги та струму при холостому ході й короткому замиканні в окремості, а після цього, геометричні склавши їх, отримати дійсні струми та напруги.