Параллелограмм. Прямоугольник. Ромб. Квадрат
Определения. Свойства. Признаки.
Задачи
1. Биссектрисы
углов А
и D
параллелограмма ABCD
делят сторону ВС
на три равные части. Найти его периметр,
если
.
2. Через точку, расположенную внутри треугольника, проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разбивают треугольник на три треугольника и три четырёхугольника. Пусть a, b и c – параллельные высоты этих треугольников. Найти параллельную им высоту исходного треугольника.
3. Дан параллелограмм ABCD и некоторая точка М. через точки A, B, C и D проведены прямые, параллельные прямым MC, MD, MA и MB соответственно. Доказать, что все эти прямые проходят через одну точку.
4. Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.
5. Через данную точку внутри угла провести прямую так, чтобы её отрезок, заключённый внутри угла, делился бы данной точкой пополам.
6. Диагонали АС и ВD параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Доказать, что окружности, описанные около треугольников АОВ и СОD, касаются.
7. Сторона ВС
параллелограмма ABCD
вдвое больше стороны АВ.
Биссектрисы углов А
и В
пересекают прямую CD
в точках M
и N,
причём
.
Найти стороны параллелограмма.
8. На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Доказать, что их центры сами образуют квадрат.
9. Окружность,
построенная на стороне AD
параллелограмма ABCD
как на диаметре, проходит через вершину
В
и середину стороны ВС.
Найти углы параллелограмма.
10. Котёнок сидит
на середине лестницы, прислонённой к
стене. Концы лестницы начинают скользить
по стене и полу. Какова траектория
движения котёнка?
11. Из противолежащих вершин прямоугольника опущены перпендикуляры на его диагональ. Основания перпендикуляров делят диагональ на три отрезка, сумма двух из них равна третьему. Найти углы, на которые диагональ делит прямой угол.
12. Найти расстояние от центра ромба до его стороны, если острый угол ромба равен 30°, а сторона равна 12.
13. Около данной окружности описать ромб с данной стороной.
14. Через середину
диагонали KM
прямоугольника KLMN
перпендикулярно этой диагонали проведена
прямая, пересекающая стороны KL
и MN
в точках A
и B
соответственно. Известно, что
.
Найти бόльшую сторону прямоугольника.
15. Прямая, проходящая через центр прямоугольника перпендикулярно диагонали, пересекает бόльшую сторону прямоугольника под углом 60°. Отрезок этой прямой, заключённый внутри прямоугольника, равен 10. Найти бόльшую сторону прямоугольника.
16. Доказать, что биссектрисы всех четырёх углов прямоугольника (не являющегося квадратом) при пересечении образуют квадрат.
Задачи на «5»
17. Внутри треугольника
АВС
взята точка М
и построены параллелограммы
,
и
.
Доказать, что прямые
,
и
пересекаются в одной точке.
18. Три равных окружности проходят через одну точку и попарно пересекаются в трёх других точках А, В и С. Доказать, что треугольник АВС равен треугольнику с вершинами в центрах окружностей.
19. Стороны параллелограмма равны a и b. Найти диагонали четырёхугольника, образованного пересечениями биссектрис углов параллелограмма.