Прямоугольный треугольник: тригонометрические соотношения
Задачи
1. Через точки А и В, принадлежащие окружности, проведены касательные, пересекающиеся в точке М, , . Найти радиус окружности.
2. В выпуклом четырёхугольнике MNLQ углы при вершинах N и L – прямые, а тангенс угла при вершине M равен . Найти диагональ NQ, если известно, что сторона LQ вдвое меньше стороны MN и на 2 больше стороны LN.
3. Треугольник KMN остроугольный, , . Найти отношение высот NP и MQ.
4. На катете АС прямоугольного треугольника АВС как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу АВ в точке K. Найти площадь треугольника CKB, если катет , а .
5. Радиус окружности, вписанной в ромб, равен r, а острый угол ромба равен . Найти сторону ромба.
6. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их центров под углами 90° и 60°. Найти радиусы окружностей, если расстояние между их центрами равно а. (Центры могут лежать по разные стороны от хорды, а могут и по одну сторону.)
7. Две вершины квадрата расположены на основании равнобедренного треугольника, а две другие – на его боковых сторонах. Найти сторону квадрата, если основание треугольника равно а, а угол при основании равен 30°.
8. Высота треугольника АВС, опущенная на сторону ВС, равна h, , . Найти остальные высоты этого треугольника.
10. Дан прямоугольный треугольник, один из углов которого равен 30°. Из середины его гипотенузы восставлен серединный перпендикуляр к ней. Доказать, что длина этого перпендикуляра, лежащего внутри треугольника, равна трети длины большего катета.
9. Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен R. Угол при основании равен . Найти стороны треугольника.
10. Дан отрезок длиной 1. Построить отрезки длиной , , , , , .
11. Даны отрезки а и b (). построить отрезки длиной , , , .
12. Найти (геометрически!) , , .
13. Биссектриса одного из углов треугольника делит его на два равнобедренных треугольника. Найти углы треугольника.
14. Найти , , .
15. Найти сторону правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса R.
16. Высота треугольника, опущенная на основание, в два раза меньше его основания, а один из углов при основании 75°. Доказать, что треугольник равнобедренный.
17. Найти угол В треугольника АВС, если высота СН равна половине стороны АВ и .
18. В треугольнике АВС . Известно, что высота и биссектриса, проведённые из вершины А, образуют угол, равный 22°30ʹ. Найти .
Задачи на «5»
19. В треугольнике АВС, таком что , , проведены биссектриса , биссектриса и высота Найти площадь треугольника, образованного пересечением прямых: а) АС, и ; б) , и
20. Окружности радиусов 5 и 12, расстояние между центрами которых равно 13, пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая бóльшую окружность в точке K, а меньшую – в точке M, причём точка B лежит между точками K и M. Найти косинусы углов треугольника KAM.
ГЕОМЕТРИЯ – 5 2011