ГЕОМЕТРИЯ – 1 6.09.2011
Дедуктивное построение геометрии
1. Неопределяемые понятия и определения.
2. Аксиомы и теоремы.
Параллельные прямые. Сумма углов треугольника
1. Определение параллельных прямых. Признаки и свойства параллельности.
2. Построение прямой, параллельной данной.
3. Теорема о сумме углов треугольника и о внешнем угле.
4. Сумма внутренних углов а) четырёхугольника; б) выпуклого n-угольника.
Задачи
1. Две параллельные прямые пересечены третьей. Найти угол между биссектрисами внутренних односторонних углов.
2. В треугольнике
АВС
.
Найти угол между а) бис-сектрисами
углов В
и С;
б) высотами ВН
и СK
(рассмотреть случаи
и
).
3. Высоты треугольника,
проведённые из вершин А
и В,
пересекаются в точке Н,
причём
,
а биссектрисы, проведённые из вершин В
и С,
– в точке K,
причём
Найти
.
4. Доказать, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию. Сформулировать и доказать обратное утверждение.
5. На сторонах ВС и АВ квадрата АВСD во внешнюю сторону построены правильные треугольники ВМС и АKВ. Доказать, что треугольник DKM – правильный.
6. На продолжении
гипотенузы АВ
за точки А
и В
взяты соответственно точки K
и L,
причём
и
.
Найти угол LCK.
7. Найти сумму пяти углов при вершинах разносторонней пятиконечной звезды.
8. Доказать, что угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из одной вершины треугольника, равен полуразности двух других его углов.
9. Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, выходящими из той же вершины.
10. Высота и медиана, проведённые из одной вершины, делят угол треугольника на три равные части. Найти углы треугольника.
11. Найти острый угол равнобедренной трапеции, если диагональ делит её на два равнобедренных треугольника.
12. На катетах АС и ВС треугольника АВС как на сторонах построены вне треугольника АВС равносторонние треугольники ACL и BCM. Доказать, что +- и найти угол между прямыми AM и BL.
13. Прямая пересекает боковую сторону АС, основание ВС и продолжение боковой стороны АВ равнобедренного треугольника АВС в точках K, P и M соответственно. При этом треугольники CKP и BMP – равнобедренные. Найти углы этих треугольников.
14. В треугольнике АВС угол между высотой и биссектрисой, проведённой из вершины А, равен 10°, а угол между высотой и биссектрисой, проведённой из вершины В, равен 5°. Найти углы треугольника.
Задачи на «5»
15. Построить
треугольник, если заданы сторона,
противолежащий ей угол и сумма
двух других сторон.
16. Построить треугольник по периметру и двум углам.
17. В прямоугольнике
ABCD
.
Сторона AD
точками E
и F
делится на три равные части. Найти сумму
углов BEA,
BFA
и BDA.
18. Центр описанной около треугольника окружности симметричен центру вписанной в него окружности относительно одной из сторон. Найти углы треугольника.
ГЕОМЕТРИЯ – 2 13.09.2011