Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора

1. Доказать, что медиана, в прямоугольном треуголь­нике, выходящая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Сформулировать и доказать обратное утвер­ждение.

2. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

3. Теорема Пифагора (прямая и обратная). Доказатель­ства, основанные на равенстве площадей и на подобии треугольников. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

4. Тригонометрические функции острого угла в прямо­угольном треугольнике. Таблица значений тригонометриче­ских функций для .

Задачи

1. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 и 12. Найти катеты треугольника.

2. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найти высоту трапеции.

3. В равнобедренном треугольнике АВС основание , высота . Найти радиусы вписанной и описанной окружностей.

4. Выразить стороны прямоугольного треугольника через медианы и , проведённые к катетам.

5. Основания трапеции равны 3 и 5, одна из диагоналей перпендикулярна боковой стороне, а другая делит пополам угол при большем основании. Найти высоту трапеции.

6. В трапеции ABCD , , . Отношение квадратов длин диагоналей равно 1,3. Найти а) периметр трапеции; б) расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до каждой из её сторон.

7. Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом основании. Найти все стороны трапеции, если её высота равна 12, а биссектрисы равны 13 и 15.

8. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен 3. Углы при большем основании трапеции равны 30° и 60°. Найти высоту трапеции.

9. В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники DBC и DAC, соответственно равны R и r. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

10. Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника проведён к ней перпендикуляр. Отрезок этого перпендикуляра, заключённый внутри треугольника, равен с, а отрезок, заключённый между одним катетом и продолжением другого, равен . Найти гипотенузу.

11. В прямоугольном треугольнике АВС , гипотенуза . Найдите радиус окружности с центром в точке А, касающейся окружности, проходящей через вершины В, С и середину гипотенузы.

12. На катете АС треугольника АВС () выбрана точка Р так, что . Из точки Р на гипотенузу опущен перпендикуляр. В каком отношении этот перпендикуляр делит гипотенузу, считая от точки А, если ?

Задачи на «5»

13. На гипотенузе прямо­угольного тре­угольника во внеш­нюю сторону построен квад­рат. Найти расстояние от вершины прямого угла до центра квадрата.

14. Хорды АВ и СD окружно­сти радиуса R пересекаются под пря­мым углом. Найти ВD, если .

ГЕОМЕТРИЯ – 3 20.09.2011

Прямоугольный треугольник: окружности и касательные

Задачи

1. Отрезок, соединяющий центры двух пересекаю­щихся окружностей, делится их общей хордой на отрезки 2 и 5. Найти общую хорду, если известно, что радиус одной окружности вдвое больше радиуса другой.

2. Касательная и секущая, проведённые из одной точки к окружности, взаимно перпендикулярны. Касательная равна 12, а внутренняя часть секущей равна 10. Найти радиус окружности.

3. К окружности проведены касательные, касающиеся её в концах диаметра АВ. Произвольная касательная к окружности пересекает эти касательные в точках K и М. Доказать, что произведение постоянно.

4. В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота из вершины С прямого угла. На этой высоте как на диаметре построена окружность. Известно, что эта окружность высекает на катетах отрезки, равные 12 и 18. Найти катеты треугольника АВС.

5. Окружность радиуса R вписана в прямоугольную трапецию, меньшее основание которой равно . Найти остальные стороны трапеции.

6. Три окружности радиусов 1, 2 и 3 касаются друг друга внешним образом. Найти радиус окружности, проходящей через точки касания этих окружностей.

7. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС равен 21, а катет ВС равен 28. Окружность с центром О на гипотенузе АВ касается обоих катетов. Найти радиус окружности.

8. На боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре построена окружность, делящая вторую боковую сторону на отрезки m и n. Найти основание треугольника.

9. Окружность, вписанная в трапецию, делит её боковую сторону на отрезки a и b. Найти радиус окружности.

10. Окружности радиусов R и r касаются друг друга внешним образом. Найти радиус третьей окружности, касающейся двух данных и их общей внешней касательной.

11. В прямоугольной трапеции лежат две окружности. Одна из них, радиуса 4, вписана в трапецию, а вторая, радиуса 1, касается двух сторон трапеции и первой окружности. Найти площадь трапеции.

12. В параллелограмме лежат две окружности. Одна из них, радиуса 3, вписана в параллелограмм, а другая касается двух его сторон и первой окружности. Расстояние между точками касания, лежащими на одной стороне параллелограмма, равно 3. Найти его площадь.

13. Даны окружности радиусов R и r (). Расстояние между их центрами равно а (). Найти отрезки общих внешних и общих внутренних касательных, заключённых между точками касания.

14. Окружности радиусов R и r () касаются внешним образом в точке K. К ним проведены две общие внешние касательные; А и D – их точки касания с меньшей окружностью, В и С – с большей окружностью.

а) Найти АВ и отрезок MN общей внутренней касательной, заключённой между внешними касательными.

б) Доказать, что углы AKB и – прямые ( и – центры окружностей).

в) Найти радиусы окружностей, касающихся обеих данных окружностей и их общей внешней касательной.

Задачи на «5»

15. В круге проведены два диаметра АВ и СD, М – некото­рая точка. Известно, что . Найти DМ.

16. Катет прямоугольного треугольника равен 2, а противо­лежащий ему угол равен 30°. Найти расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники, на которые данный тре­угольник делится медианой, проведённой из вершины прямого угла.

ГЕОМЕТРИЯ – 4 2011