3.Убывает и непрерывна.
х=π
х
х=0
у
y=ctgx
4.Формула обратной функции:
f-1: x=arcctg x.
5.xy
y=arcctg x.
Исследование:
1.Область определения функции: (-∞;+∞).
2.Множество значений функции:(0;π);
прямые у=0 и у=πгоризонтальные асимптоты.
3.Корней нет, т.к. у≠0; у(0)=π/2.
4.Функция общего вида.
Справедлива формула: arcctg(-x)=π- arcctg x.
5.Если х возрастает от -∞ до +∞, то функция убывает от π до 0.
6.Экстремумов нет.
ctg(arcctg x)=x
y
y=π
x
y=0
y=arcctg x
§11.Решение примеров.
Пример1
Найти область определения следующих функций
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Решения
1)
Заметим,
что:
Область определения функции:
≤x
n;
nZ.
Ответ:
{(
;
),nZ}
2)
Заметим,
что
Область определения:
Ответ:
3)
Заметим,
что:
Тогда:
Область
определения функции:
-
Ответ:
4)
Область определения функции:
Пусть
cos x = t,
Ответ:
5)
Область определения функции:
(область
определения y = tg
x)
Ответ:
6)
Область определения функции:
Ответ:
7)
Область определения функции:
(условие
существования тангенса)
Ответ:
Пример 2.
Найти область определения следующих функций (самостоятельно)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Ответы:
1)D(y)={(
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Пример 2.
Найти множество значений функции E(f) и точки экстремумов.
-
f(x)=cos2x + cosx –3/4 ;
-
f(x)=cos2x +
cosx
- 3/2 ; -
f(x)= -4cos2x + 4
cosx
Решение:
-
f(x)=cos2x + cosx –3/4
Введем новую переменную t=cosx , t Є [-1,1]
f(t)= t2 +t – ¾ f(t)= (t+1/2)2-1 , t Є [-1,1] (рис1)
min f|t=-1/2= -1 m=-1 ; f(-1)=-3/4 ;
f(1)= 5/4 M=5/4
E(f)=
[-1;1
]
min
f=-1
при t=-
<==> cosx=
-
<==> x=±
π
+ 2πк
, к Є Z
Ответ:
E(f)= [-1;1
];
minf(±
+2πk)=-1
-
f(x)=cos2x +
cosx
-
Введем новую переменную: t=cosx , t Є [-1,1]
f(t)=t2+
t
-
f(t)=
(t+
)2-2
, t
Є [-1,1] (рис. 2)
minf|t=-
=
-2
m=-2
; f(-1)=
(-1+
)2-2
=
=
1 -
+
-2=
-
-√2;
f(1)=
(1 +
)2-2=
-
+√2
M=
-
E(f)=
[-2;√2
-
]
minf=-2
при t=
<==> cosx
= -
<==> x=±
π
+ 2πк
Ответ:
E(f)=
[-2;
-
]
; minf|
x=±
π
+ 2πк
=-2
Рис.2
-
f(x)= -4cos2x+4√3 cosx
Введем
новую переменную: t=
cosx
; t
Є [-1,1]
f(t)= -4t2+4√3 t , t Є [-1,1]
f(t)=-4(t-
)2+3
(рис.3)
maxft=
=3
M=3
;
f(-1)=
-4 - 4
m=
-4 - 4
f(1)= -4+ 4
E(f)=[
-4 - 4
;3]
maxf=3
при
t=
<==>cosx=
<==> x=±
𝛑+
2𝛑к,
кZ.
Ответ:
E(f)=[
-4 - 4
;3] ;
maxf(±
Пример 3 (самостоятельно)
Найти
множество значений функции E(f)
и точки экстремумов (самостоятельно)
1)
f(x)=
- sin2x
– sinx
+
2)
f(x)= -2 sin2x+
2
sinx
+2
3)
f(x)=4sin2x
+4
sinx
-2
Ответ:
1) E(f)= [-1
;1]
maxf((-1)k+1
+πk;
kZ)=1
2) E(f)=[- 2
;3]
maxf((-1)k
+πk;kZ)=3
3) E(f)=[-5; 2+4
]
minf((-1)k+1
)=-5
Пример 4.
Решить уравнение:
+
=1
Решение:
Обозначим
t[-1;1]
t-
Геометрическое решение:
(Повторите в разделе «специальные функции» функцию «корыто»)
t
y
-
y=1
y=1-
-
-
;
kZ.
-
Ответ:{[-
Пример 5 (самостоятельно).
.
Ответ: {2πk, kZ}.
Пример 6.
Решить неравенство:
.
Решение:
Рассмотрим две функции:
f(x)=
;
g(x)=
f(x)g(x).
Определим множество значений для каждой функции:
f(x)=
, т.к. -1≤
, то 1/3≤
≤1D(f)=[1/3;
1]
g(x)=
, т.к.
,.то
1≤
≤2
D(g)=[1;2]
f(x)g(x)
Ответ:{
}
Пример 7 Самостоятельно).
Решить неравенство:
.
Ответ:{
.
Пример 8.
Найти область определения функции:
y=arcsin(3x+4).
Решение:
Область определения данной функции:
3х+4≤1х+
-
-1
-
х
Ответ:D(f)=[-
Пример 9 (самостоятельно).
Найти область определения функции:
y=arccos(2-5x).
Ответ: [1/5; 3/5].
Пример 10.
Решить уравнение:
(x2-8)+3x2+16x+8=0.
Решение:
О.д.з.:х2-8≤17≤х2≤9 √7≤х≤3.
х
-3
3
-√7
√7
О.д.з.:х[-3; -√7]∪[√7; 3].
Т.к.
x2-8+3x2+16x+8=0
4x2+16x=0
x(x+4)=0
Ответ:∅
Пример 11(самостоятельно).
Решить уравнение:
Ответ:{2}.
Пример 12 (самостоятельно).
Вычислить:
*(
.
Ответ:√5.
Пример 13 (самостоятельно).
Вычислить:
3
,
если 2,5
.
Ответ: 5
Пример 14.
Вычислить:
-
; -
; -
; -
Решение:
1)
=
=
.
Пусть arctg(
)=𝛂
√3
4
c
α
c=
Ответ:
=
=
.
Пусть
arcctg(1/√7)=𝛂
√7
1
c
α
c=
Ответ:
.
3)
=
=
.
Пусть
=𝛂
2
√5
а
α
а=
tg𝛂=
=2
Ответ:-2.
-
4)
=
=-
Пусть
=𝛂
7
b
√7
α
b=
ctg𝛂=
=
Ответ:-
Пример 15 (самостоятельно)
Вычислить:
-
arccos
); -
tg(arcctg(-2/5);
-
; -
; -
tg(arc
); -
ctg(arc
Ответ:
1)
;
2)-2,5; 3)
;4)√5/3;
5)-1; 6) -1/√5.
Пример 14.
Найти периоды данных функций и вычислить значения функций в указанных точках.
1.
y=
2 sin
;
х1=
х2=-
2.
y=
-
cos
;
х1=
х2=-
3.
y=
5 tg
;
х1=
х2=
-
4.
y=
ctg
;
х1=
х2=
-
5.
y=
2 sin3x+1
; х1=
х2=
-
6.
y=
4 cos
-1;
х1=
х2=
-
7.
y=sin2x;
х1=
х2=
-
8.
y=cos2
2x
;
х1=
х2=-
Решение:
Заметим,
что для функций y=sin
x
и y=cos
x
основной период
Т=2
.
Для функций y=tg x и y=ctg x основной период
Т=
.
Bычислим значения функций в указанных точках.
1.
y=
2 sin
;
х1=
х2=-
По
свойствам периодических функций Т=2
y
=2sin
=2sin
=2sin
(0)=0
y
=2sin
=-2sin
=2sin
=2sin
=1
Ответ:
Т=2
;
у
=0;
у
=1
2.
y=
-
cos
;
х1=
х2=-
По
свойствам периодических функций Т=2
y
=
-
cos
=-
cos
=-
cos
=
y
=-
cos
=-
cos
=-
cos
=
0
Ответ:
Т=2
;
y
=
;
y
=
0
3.
y=
5 tg
;
х1=
х2=
-
По
свойствам периодических функций Т=
y
=
5tg
=
5tg
=
- 5tg0=0
y
=
5tg
=
5tg
=
5tg
=5tg
=5
Ответ:
Т=
;
y
=0
; y
=5
4.
y=
ctg
;
х1=
х2=
-
По
свойствам периодических функций Т=
y
=
ctg
=
ctg
=
ctg
=
=
ctg
=
y
=
ctg
=
ctg
=-
ctg
=
=
ctg
=-
Ответ:
Т=
;
y
=
; y
=-
5.
y=
2 sin3x+1
; х1=
х2=
-
По
свойствам периодических функций Т=
y
=2
sin
+1=2
sin
+1=2
sin
+1=2
sin
+1=3
y
=2
sin
+1=2
sin
=2
sin
+1=2
sin
+1=-2
+1=1-
Ответ:
Т=
;
y
=3
; y
=1-
6.
y=
4 cos
-1;
х1=
х2=
-
По
свойствам периодических функций Т=2
:
=6𝛑
y
=4cos
-1=4cos
-1=4cos
-1==4cos
-1=4
-1=2
-1
y
=4cos
-1=4cos
-1=4cos
-1=
4cos
-1=
=2
-1
Ответ:
Т=6π
; y
=2
-1
;
=2
-1
7.
y=sin2x
; х1=
х2=
-
y=sin2x
y=
По свойствам периодических функций Т=2𝛑:2= 𝛑
y
=
=
=
=
=
y
=
=
=
=
=
Ответ:
Т=π
; y
=
; y
=
8.
y=cos2
2x
;
х1=
х2=-
y=cos2
2x
y=
(1+cos4x)
По
свойствам периодических функций Т=
y
=
=
=
=
=
=
y
=
=
=
=
=
Ответ:
Т=
; y
=
;
y
=