§6.Показательная функция.

Функция вида:

у= , а>0; а≠1

называется показательной функцией.

График функции называется экспонентой.

у

х

х

у

1

1

а>1

0а1

Исследование:

1. D(f)=R

2. E(f)=(0;+∞); прямая у=0  горизонтальная асимптота.

3. Корней нет, т.К. У≠0.

4. у(0)=1 ( все графики проходят через точку (0;1).

5. Функция общего вида.

6. при а>1функция возрастает на всей области определения т.е. из условия х₁>х₂

при 0а1функция убывает на всей области определения т.е. из условия х₁>х₂

7. Экстремумов нет.

Обратите внимание на поведение функции на границах области определения.

Если а>1, то

Если 0а1, то

Пример 1.

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование .

у=-2.

Решение:

Порядок работы:

1. у=; (2) у=; (3) у=-2; (4) -2.

В результате имеем следующую схему графика:

у

2

0

1

х

2

-2

Исследование:

1). D(f)=R.

2) E(f)=[0;+∞)

3) y=0 -2=0=2x-1=1

4)у(0)=0; у(1)=2.

5) функция общего вида (прямая х=1ось симметрии)

6)min y(0)=0; min y(2)=0; max y(1)=2.

Пример 2.

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование .

у=(-4 .

Решение:

Порядок работы:

1. у=(; (2) у=-4; (3)у=( -4; (4) у=(-4 .

В результате имеем следующую схему графика:

у

х

4

3,5

0

Исследование:

1. D(f)=R

2. E(f)=[3,5;4); у=4 горизонтальная асимптота.

3. Нет корней, т.К. У≠0.

4. Функция чётная .

5. min y(0)=3,5.

Пример 3.(самостоятельно)

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование .

у=-3.

Пример 4.(самостоятельно)

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование .

у=(-5.

Пример 5.

Дано:

f(x)=-24; D(f)=[-2;0]=X; E(f)=Y; f: XY.

Найти:

1. E(f)

2. Определить вид отображения (построить график).

Решение:

Функция у= возрастает. Данная функция тоже возрастает, т.к. получена из данной параллельным переносом.

Вывод: отображение ; f: XY является биекцией.

Вычислим значение функции на границах области определения функции: f(-2)=-4; f(0)=1 E(f)=[-4;0]

заметим, что прямая у=-24  горизонтальная асимптота у>-24.

Схема графика функции в указанной области определения имеет вид:

-2

-4

1

у

х

Х

У

Пример 6.

Дано:

f(x)=-2; D(f)=[-1;1]=X; E(f)=Y; f: XY

Найти:

1. E(f)

2. Определить вид отображения (построить график).

Решение:

Сначала построим схему графика данной функции, используя преобразования графиков и вычислим значения функции на границах области определения и в точке минимума:

f(-1)=-1; f(1)=-1; f(0)=-1,5 (заметим. что данная функция чётная)

Порядок работы: (1) у=; (2) у=; (3) у=.

На интервале (-1;0) функция убывает; на интервале (0;1) функция возрастает.

E(f)=[-1,5;-1] сюръекция (отображение «на»)

Схема графика:

-1

1

Х

У

х

у

Пример7.(Самостоятельно)

Дано:

у=(-3; D(f)=[-2;1]; E(f)=Y; f: XY.

Найти: