§1 Линейная функция.

Функция вида: y=kx+b называется линейной функцией.

Графиком этой функции является прямая.

Если 𝛂 угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс, то к=tg𝛂 угловой коэффициент

Частные случаи:

b=0y=kx (прямая пропорциональная зависимость)

к=0у=b (постоянная функция)

b

у

х

у

х

b

у=кх+b

k>0

k0

α

α

k>0

у=кх

y

y

k0

α

α

x

x

y

y=b

x

Проведём исследование линейной функции.

1. D(f)=R

2. E(f)=R

3. множество корней: у=0kx+b=0kx=-b (k≠0)  x=-

4. чётностьнечётность.

При b=0 f(-x)=-f(x) нечётная.

При b≠0 f(x)≠функция общего вида.

5. промежутки монотонности.

При к>0 функция строго возрастает на всей области определения от-∞ до +∞.

При к0 функция строго убывает на всей области определения

от +∞.до -∞.

При к=0 функция является постоянной.

6. Экстремумов нет, т.к. функция строго монотонна.

Рассмотрим различные примеры, связанные с уравнением прямой и построением графиков ломаных.

Для решения предложенных примеров, повторите материал предыдущей главы о прямой на плоскости (различные виды уравнений прямой на плоскости).

Пример1.

По данному графику найти уравнение прямой.

у

х

4

5

Решение:

1 способ.

Используем уравнение прямой в отрезках на осях координат:

В нашем случае : a=5; b=4  +=1 4х+5у-20=0 (общее уравнение прямой).

2 способ.

Используем уравнение прямой через точку с угловым коэффициентом:

у=к(х-х₀)-у₀

Выберем точку М₀(5;0) у=к(х-5)

к=tg𝛂=- (функция убывает к0)

у=-(х-5)у=-х+4 (уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой)

Пример2.

По данному графику найти уравнение прямой.

у

4

х

3

Решение:

Т.к. прямая проходит через начало координат, то уравнение будем искать в виде:

у=кх

к=tg𝛂к=4/3

Ответ:

у=4/3х

Пример3.

По данному графику найти уравнение прямой.

у

5

1

х

-2

1

Решение:

Прямая проходит через две точки: М₁(-2;1) и М₂(1;5).

Используем уравнение прямой через две точки:

 4(х+2)=3(у-1)4х-3у+11=0 (общее уравнение прямой)

Задание для творческой работы.

Изобразите на плоскости прямые. Задайте необходимые условия и найдите уравнения этих прямых.

Пример4.

Задайте аналитически функцию, график которой изображён на чертеже.

у

2

(4)

(2)

(3)

х

-6

-4

-3

8

(1)

Решение:

Данная ломаная имеет четыре прямолинейных участка.

Чтобы получить аналитическое выражение данной функции, найдём сначала уравнения прямых на каждом участке, а затем объединим в одну формулу.

(1)

Эта прямая проходит через точку (-4;0).

Уравнение ищем в виде: у=к(х-х₀)-у₀ 

у=к(х+4); k=tg=3/2у=3/2(х+4)

(1)у=3/2х+6; х(-∞;-4]

Примечание: можно получить это уравнение другим способом, используя уравнение прямой через две точки (проверьте сами).

Эта прямая тоже проходит через точку (-4;0),

(2)

но к=tg=-у=-3/4(х+4)

2. у=-3/4х-3 х[-4;0]

Примечание: можно получить это уравнение другим способом, используя уравнение прямой в отрезках на осях координат (проверьте сами).

(3)

Эта прямая проходит через две точки: М₁(0;-3) и М₂(8;2).

  5х=8у+3(3) у=х- ; х[0;8]

Эта прямая имеет уравнение: у=2; х[8;+∞)

(4)

Окончательно получаем аналитическое задание нашей функции:

у= ………………….Ответ

Задание для творческой работы.

Задайте ломаную, указав необходимые условия и напишите аналитическое задание данной функции.

Внимание!

Ломаная должна являться графиком функции.

(Повторите определения функции и графика).