Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ№1 ПО МАТЕМАТИКЕ.doc

Скачиваний:

Добавлен:

05.11.2018

Размер:

3.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

7.2. Исследование функций и построение их графиков

Исследование функций и построение их графиков удобно выпол-нять по следующей схеме.

Найти область определения функции.
Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодической.
Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва.
Найти асимптоты графика функции.
Установить интервалы монотонности функции. Найти точки экстремума функции, вычислить значения функции в этих точках.
Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.
Используя результаты проведенного исследования, построить график функции. При необходимости уточнения отдельных участков кривой можно вычислить координаты нескольких дополнительных точек (в частности, координаты точек пересечения графика с осями координат).

Пример 7.4. Исследовать функцию и построить ее график.

Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точек .

Функция нечетная, так как , ее график симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно исследовать функцию для . Прямые х = –2 и х = 2 являются вертикальными асимптотами, поскольку . Найдем наклонные асимптоты :

;

Следовательно, – наклонная асимптота.

Производная функции обращается в нуль при и .

Вторая производная

обращается в нуль при .

Составим таблицу

х	(0; 2)	2	(2; )		()
	+	Не сущ.	+	0	–
	+	Не сущ.	–	–	–
у		Не сущ.			

Следовательно, – точка максимума, . В силу нечетности имеем: – точка минимума . Поскольку при и при , то х = 0 – абсцисса точки перегиба, 0(0;0) – точка перегиба.

Используя полученные данные, строим график функции (рис. 7.1).

Рис. 7.1

Контрольная работа № 1

Задание 1. а) Проверить невырожденность системы линейных уравнений и решить ее по формулам Крамера и матричным способом.

б) Исследовать систему на совместность и в случае совместности решить ее, используя метод Гаусса.

1.1.	а)	б)
1.2.	а)	б)
1.3.	а)	б)
1.4.	а)	б)
1.5.	а)	б)
1.6.	а)	б)
1.7.	а)	б)
1.8.	а)	б)
1.9.	а)	б)
1.10.	а)	б)
1.11.	а)	б)
1.12.	а)	б)
1.13.	а)	б)
1.14.	а)	б)
1.15.	а)	б)
1.16.	а)	б)
1.17.	а)	б)
1.18.	а)	б)
1.19.	а)	б)
1.20.	а)	б)
1.21.	а)	б)
1.22.	а)	б)
1.23.	а)	б)
1.24.	а)	б)
1.25.	а)	б)
1.26.	а)	б)
1.27.	а)	б)
1.28.	а)	б)
1.29.	а)	б)
1.30.	а)	б)

Задание 2. Найти 1) , 2) площадь треугольника с вершинами в точках А, В, С.

2.1. А(7,1,4), В(9,–2,0), С(0,3,–3). 2.2. А(3,1,4), В(–3,–1,0), С(2,1,–3).

2.3. А(2,1,0), В(3,–1,–4), С(0,2,–2). 2.4. А(3,–1,–1), В(3,1,4), С(1,0,5).

2.5. А(2,1,–1), В(7,–1,3), С(0,3,3). 2.6. А(2,–3,7), В(–3,–1,5), С(9,0,1).

2.7. А(7,–3,4), В(3,2,–1), С(4,1,1). 2.8. А(1,1,0), В(2,1,–4), С(0,1,0).

2.9. А(1,–1,4), В(2,3,–4), С(1,0,–5). 2.10. А(2,–4,7), В(8,1,0), С(–1,–3,0).

2.11. А(1,–1,0), В(0,1,7), С(–1,–2,–3). 2.12. А(0,9,–3), В(1,3,4), С(0,2,–5).

2.13. А(1,–1,3), В(2,–2,4), С(1,0,1). 2.14. А(2,–2,–3),В (–1,–4,7),С(0,4,–3).

2.15. А(1,0,0), В(–3,1,–1), С(1,–2,–3). 2.16. А(1,3,7), В(7,3,–5), С(–1,–4,0).

2.17. А(1,–1,1), В(0,1,0), С(1,4,–5). 2.18. А(2,–2,3), В(1,–1,4), С(0,1,–1).

2.19. А(2,0,–1), В(1,–1,1), С(0,1,7). 2.20. А(1,–1,3), В(2,1,–4), С(0,1,0).

2.21. А(1,–2,2), В(2,0,1), С(1,4,–7). 2.22. А(1,2,–3), В(2,–1,4), С(2,3,–4).

2.23. А(7,9,–3), В(1,0,–1), С(0,3,0). 2.24. А(1,–2,0), В(2,4,–1), С(7,1,0).

2.25. А(3,–1,4), В(–4,2,3), С(0,1,–1). 2.26. А(6,–3,0), В(3,0,1), С(2,–4,3).

2.27. А(4,5,–1), В(6,–4,2), С(0,3,–1). 2.28. А(3,–1,2), В(3,6,–4), С(0,1,–1).

2.29. А(1,1,–1), В(3,4,0), С(0,5,–2). 2.30. А(1,0,2), В(3,4,7), С(5,–1,1).

Задание 3. Найти угол (в градусах) между прямой и плоскостью, проходящей через точки .

3.1.	M₁(1,–3,4),	M₂(0,–2,–1),	M₃(1,1,–1).
3.2.	M₁(1,1,4),	M₂(–2,1,1),	M₃(1,3,6).
3.3.	M₁(1,2,–1),	M₂(–1,0,4),	M₃(–2,–1,1).
3.4.	M₁(1,2,3),	M₂(4,–1,–2),	M₃(4,0,3).
3.5.	M₁(1,3,–1),	M₂(–3,1,–9),	M₃(1,0,–7).
3.6.	M₁(1,–2,–1/2),	M₂(2,1,3),	M₃(0,–1,–1).
3.7.	M₁(1,1,4),	M₂(2,–1,0),	M₃(3,2,1).
3.8.	M₁(–13,3,2),	M₂(–3,–2,–4),	M₃(0,0,–3).
3.9.	M₁(1,–1,–3),	M₂(0,6,1),	M₃(2,2,–2).
3.10.	M₁(2,3,–10),	M₂(1,–1,–9),	M₃(0,–1,–4).
3.11.	M₁(1,1,4),	M₂(2,0,2),	M₃(0,3,3).
3.12.	M₁(2,1,–3),	M₂(1,1,0),	M₃(–1,2,7).
3.13.	M₁(1,0,1),	M₂(0,0,2),	M₃(1,1,1).
3.14.	M₁(–5,–1,1),	M₂(–2,0,1),	M₃(–1,1,0).
3.15.	M₁(2,1,3),	M₂(0,0,4),	M₃(1,1,1).
3.16.	M₁(2,3,1),	M₂(4,–4,–2),	M₃(1,0,0).
3.17.	M₁(–1,0,1),	M₂(3,–2,–1),	M₃(–4,–1,2).
3.18.	M₁(2,–2,9),	M₂(–2,0,1),	M₃(–4,1,3).
3.19.	M₁(1,2,–1),	M₂(2,3,–10),	M₃(0,4,1).
3.20.	M₁(1,–2,1),	M₂(0,–1,2),	M₃(2,–1,–1).
3.21.	M₁(1,–2,–5),	M₂(2,3,2),	M₃(–1,0,5).
3.22.	M₁(1,3,4),	M₂(0,1,2),	M₃(2,5,0).
3.23.	M₁(1,–1,0),	M₂(–3,–4,1),	M₃(–1,–1,2).
3.24.	M₁(–1,2,0),	M₂(6,3,1),	M₃(–15,0,2).
3.25.	M₁(1,2,3),	M₂(2,4,1),	M₃(2,0,–3).
3.26.	M₁(–1,1,0),	M₂(3,–4,5),	M₃(–2,0,2).
3.27.	M₁(2,–3,5),	M₂(1,–2,12),	M₃(4,–1,7).
3.28.	M₁(3,–1,2),	M₂(4,–1,–1),	M₃(2,0,2).
3.29.	M₁(1,3,1),	M₂(4,0,7),	M₃(–2,1,2).
3.30.	M₁(1,–1,1),	M₂(5,4,–2),	M₃(–1,–2,2).

Задание 4. Упростить уравнение кривой и изобразить ее на рисунке.

Задание 5. Найти пределы функций:

а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 6. Исследовать функции на непрерывность и установить характер точек разрыва, если таковые имеются. В пункте б) дополнительно построить график функции.