Смешанное произведение трех векторов

Произведение векторов , когда два вектора и множатся векторно, а результат их произведения (вектор ) множится скалярно на вектор , называется смешанным или скалярно векторным произведением трех векторов.

Свойства смешанного произведения:

1. Координатная форма смешанного произведения представляет собой определитель третьего порядка, у которого последовательно по строкам стоят координаты векторов-сомножителей:

2. Операции скалярного и векторного умножения в смешанном произведении можно менять местами, а тогда знаки векторного и скалярного умножения в смешанном произведении можно опустить:

При этом во втором случае, согласно определению смешанного произведения, сначала вектора и множатся векторно, а результат их произведения (вектор) множится на вектор скалярно.

3. При перестановке двух сомножителей в смешанном произведении оно меняет знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину:

Геометрический смысл смешанного произведения.

Абсолютная величина смешанного произведения трех векторов численно равна объему параллелепипеда, построенному на этих векторах:

Если перемножаемые векторы компланарны, то в параллелепипеде будет отсутствовать одно измерение и объем параллелепипеда и соответственно смешанное произведение трех векторов, будет равно нулю.

Условия взаимного расположения векторов

Рассматриваемые здесь условия будут постоянно использоваться далее в аналитической геометрии при составлении уравнений геометрических образов. В разделе векторной алгебры эти условия разбросаны по разным параграфам. Для более простого пользования этими сведениями сконцентрируем их в этом параграфе.