Министерство образования и науки Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

В.Н.Филатов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Учебное пособие 1

к изучению курса

для студентов специальности 290800

Саратов – 2005

УДК 512+514+517(075)

ББК 22.11

Ф 51

Рецензенты:

Институт повышения квалификации и переподготовки работников образования (доктор физико-математических наук, профессор В.А.Молчанов)

Доктор физико-математических наук, профессор

Саратовского государственного университета А.И.Землянухин

Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного технического университета

Филатов В.Н.

Ф 51 Высшая математика: учеб. пособие.

/ В.Н.Филатов. Саратов: Сарат. гос. тех. ун-т, 2005. – 72 с.

ISBN 5-7433-1455-1

В учебном пособии приводятся формулировки теорем, определения, формулы и понятия по линейной и векторной алгебре, аналитической геометрии и введению в анализ - материал, осваиваемый студентами в первом семестре обучения.

Предназначено для методического обеспечения курса вышей математики и может быть полезным при подготовке к практическим занятиям, зачетам, коллоквиумам и экзаменам.

УДК 512+514+517(075)

ББК 22.11

C Саратовский государственный

технический университет, 2005

ISBN 5-7433-1455-1 C Филатов В.Н., 2005

Предисловие

Учебное пособие издается в соответствии с постановлением учебно-методической комиссии по специальности «Водоснабжение и водоотведение» (протокол № от июня 2003 г.) и редакционно-издательского совета СГТУ. По мнению УМКС ВиВ в настоящее время по многим дисциплинам интенсивность обучения заметно снизилась. Тому есть много причин:

- недостатки школьного образования;

- возможность поступить на определенные виды образования без конкурсного отбора;

- резкая недостаточность централизованного издания учебников и учебных пособий.

Особенно это присуще обучению студентов на трех начальных курсах. Отмечено, что заметную роль в успешном изучении дисциплины играет быстрота и степень усвоения основных ее понятий. Студенты первых курсов еще не владеют навыками точного переноса понятия или определения в свой конспект, быстрого отыскания их в учебной литературе. Они при подготовке к экзаменам или отчету по модулям затрачивают на это неоправданно много времени.

Цель данного собрания понятий и определений по дисциплине «Высшая математика» заключается в облегчении их поиска, усвоению формулировок и овладением способностью свободной их трактовке и применению. В сборнике помещены рисунки, облегчающие понимание формул и определений. К минимуму в пособии сведено решение примеров, которые также решаются для пояснения определений и свойств математических понятий.

Все замечания и предложения, направленные на улучшение и пополнение учебного пособия будут приняты с благодарностью, обсуждены на заседании УМКС ВиВ и учтены в последующей работе над совершенствованием пособия.

Председатель УМКС ВиВ,

профессор Л.И. Высоцкий

1. Линейная и векторная алгебра

1.1. Определители Основные определения

Определителем второго порядка называется число, которое символически записывается в виде квадратной структуры из четырех элементов (чисел), расположенных в двух строках и двух столбцах:

.

Здесь числа , , , - элементы определителя. Читается, например, - a один, два (первый индекс указывает на то в какой строке находится рассматриваемый элемент, второй индекс указывает номер столбца в котором находится рассматриваемый элемент). , - элементы, стоящие на главной диагонали определителя (диагонали, идущей из левого верхнего угла определителя в нижний правый его угол); , - элементы, стоящие на второй (побочной) диагонали определителя. Определитель второго порядка равен разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали и на побочной:

.

Определителем третьего порядка называется число, которое символически записывается в виде квадратной структуры из девяти элементов, расположенных в трех строках и трех столбцах и вычисляется по правилу Саррюса

.

Правило Саррюса можно понять из следующих схем, на которых элементы, входящие в одно произведение с указанным знаком, соединены отрезками:

Аналогично можно дать определение определителей высших порядков, но уже правило вычисления определителя четвертого порядка, типа правила Саррюса, будет трудно понять и запомнить. Позже мы вернемся к вычислению определителей высших порядков. Сейчас же рассмотрим свойства определителей на примере определителей третьего порядка. Эти свойства сохраняют свой вид для определителей любых порядков.