- •Севастополь
- •Содержание
- •Введение
- •1. Лабораторная работа №1 «Исследование погрешностей результата вычислений при решении задач вычислительной математики»
- •1.1. Цель работы
- •1.2. Основные понятия элементарной теории погрешностей
- •1.3. Образцы выполнения заданий
- •1.4. Порядок выполнения работы
- •1.5. Контрольные вопросы
- •2. Лабораторная работа №2 «Приближение функций»
- •2.1. Цель работы
- •2.2. Основные теоретические положения и расчетные формулы
- •2.3. Порядок выполнения работы
- •2.4. Содержание отчета о выполнении работы
- •2.5. Контрольные вопросы
- •3. Лабораторная работа №3 «Численное дифференцирование и интегрирование»
- •3.1. Цель работы
- •3.2. Основные теоретические положения и расчетные формулы
- •3.3. Примеры решения типовых задач
- •3.4. Порядок выполнения лабораторной работы
- •3.5. Содержание отчета о выполнении работы
- •3.6. Контрольные вопросы
- •4. Лабораторная работа №4 «Численное решение нелинейных уравнений»
- •4.1. Цель работы
- •4.2. Краткое теоретическое введение
- •4.2.1. Метод половинного деления (бисекции)
- •4.2.2. Метод последовательных приближений (метод простой итерации)
- •4.2.3. Метод Ньютона – Рафсона
- •4.2.3.1. Описание классического метода Ньютона - Рафсона
- •4.2.3.2. Модификации метода Ньютона
- •4.2.4. Обусловленность задачи вычисления корня
- •4.3. Порядок выполнения работы
- •4.4. Содержание отчета о выполнении работы
- •4.5. Контрольные вопросы
- •5. Лабораторная работа №5 «Численное решение дифференциальных уравнений»
- •5.1. Цель работы
- •5.2. Краткие теоретические сведения
- •1) Метод степенных рядов.
- •5.3. Пример решения типовой задачи
- •5.4. Порядок выполнения работы
- •5.5. Контрольные вопросы
- •Приложения
- •Приложение в Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторных работ
- •В2. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №2 «Приближение функций»
- •В3. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №3 «Численное дифференцирование и интегрирование »
- •В4. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №4 «Численное решение нелинейных уравнений»
- •В5. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №4 «Численное решение дифференциальных уравнений»
2.3. Порядок выполнения работы
1. Изучить раздел 2.2 настоящих методических указаний.
2. Для варианта, выбранного из таблиц B2.1 и B.2 (Приложение В), выполнить задания 1 и 2.
3.Рассчитать погрешности интерполяции для всех рассматриваемых случаев.
4. Сделать анализ полученных результатов и обосновать полученные решения, дать рекомендации по использованию рассмотренных методов.
3. Составить отчет о выполнении работы.
2.4. Содержание отчета о выполнении работы
-
Цель работы.
-
Постановка задачи.
-
Краткое описание рассматриваемых методов приближения функций.
-
Результаты вычислительного эксперимента.
-
Анализ полученных результатов и выводы об их соответствии теоретически ожидаемым.
-
Приложения.
2.5. Контрольные вопросы
-
Сформулируйте постановку задачи приближения функций. Приведите примеры практического применения решения подобных задач.
-
Что собой представляет задача интерполяции и чем она отличается от задачи аппроксимации?
-
Приведите геометрическую интерпретацию этих задач
-
Какие методы интерполяции Вы знаете?
-
Перечислите достоинства и недостатки известных Вам методов.
-
Как оценить точность решения задачи интерполяции различными методами?
-
Зависит ли точность полученных результатов интерполяции от равномерности размещения узлов интерполяции по числовой оси? Если да, то почему?
-
Что собой представляет задача экстраполяции функции? Чем она отличается от задачи интерполяции?
3. Лабораторная работа №3 «Численное дифференцирование и интегрирование»
3.1. Цель работы
Целью данной лабораторной работы является овладение студентами практическими навыками применения методов численного дифференцирования и интегрирования функций, заданных табличным способом, а также навыков проведения оценок полученных результатов относительно погрешностей и коэффициентов обусловленности.
3.2. Основные теоретические положения и расчетные формулы
Численное дифференцирование применяется тогда, когда функцию трудно или невозможно продифференцировать аналитически. Например, необходимость в численном решении задачи дифференцирования возникает в том случае, когда функция задана таблицей. Кроме того, формулы численного дифференцирования широко используются при разработке вычислительных методов решения многих задач: решения дифференциальных уравнений, поиска решений нелинейных уравнений, поиска экстремума функций и др.
Основные формулы численного дифференцирования:
-
Основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона (3.1):
конечная разность i-го порядка, причем
2. Основанные на первой формуле Гаусса:
(3.2)
-
Основанные на второй формуле Гаусса:
(3.3)
-
Основанные на формуле Стирлинга:
(3.4)
-
Основанные на формуле Бесселя:
(3.5)
Под обусловленностью вычислительной задачи понимают чувствительность ее решения к малым изменениям погрешностей исходных данных.
Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям исходных данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны сильные изменения решения.
Мера степени обусловленности вычислительной задачи – число обусловленности. Эту величину можно интерпретировать как коэффициент возможного возрастания погрешностей в решении по отношению к вызвавшим их погрешностям входных данных.
Пусть между абсолютными погрешностями исходных данных X и решения Y установлено неравенство:
(Y) (X). (3.6)
Тогда величина называется абсолютным числом обусловленности.
Если же установлено неравенство:
(Y) (X), (3.7)
то величину называют относительным числом обусловленности.
Для плохо обусловленной задачи >>1.
Несмотря на внешнюю простоту формул численного дифференцирования, их применение требует особой осторожности.
Используемые при численном дифференцировании приближенные значения f*(X) функции f(X) непременно содержат ошибки измерения или вычисления. Поэтому к погрешности аппроксимации формул численного дифференцирования добавляется неустранимая погрешность, вызванная погрешностями вычисления функции f.
Для того чтобы погрешность аппроксимации была достаточно малой, требуется использование таблиц с малым шагом h. Однако при малых значениях шага h формулы численного дифференцирования становятся плохо обусловленными.
Поясним это на примере.
Полная погрешность для простейшей формулы численного дифференцирования равна:
(3.8)
и представляет собой сумму погрешности аппроксимации
и неустранимой погрешности
. (3.9)
Если верхняя граница абсолютной погрешности (f*(X))=|f(X) – f*(X)|, при вычислении функции f(X).
Тогда неустранимая погрешность оценивается как
(3.10)
Эта оценка означает, что абсолютное число обусловленности =2/h, и так как при h 0, исследуемая формула численного дифференцирования при малых значениях h становится плохо обусловленной.
Формулы для вычисления производных порядка k>1 обладают еще большей чувствительностью к ошибкам задания функций.
Основные формулы численного интегрирования:
а) Пусть отрезок интегрирования [a,b] разбит на n частей с шагом .
Тогда простейшие формулы численного интегрирования имеют вид:
формула левых прямоугольников
(3.6)
формула правых прямоугольников
(3.7)
формула средних прямоугольников
(3.8)
где .
Остаточные члены этих формул соответственно равны
(3.9)
где .
б) формула трапеций:
(3.10)
где
причем ;
в) формула Симпсона (число узлов n обязательно четное):
(3.11)
причем
г) формула Ньютона-Котеса для многочлена степени k:
(3.12)
где
Коэффициенты Bk, ai(k) и остаточные члены rk(h) определяют заранее и для них составлена таблица 3.1:
Таблица 3.1 Параметры некоторых частных формул Ньютона-Котеса
k |
Bk |
a(k)0 |
a(k)1 |
a(k)2 |
a(k)3 |
a(k)4 |
a(k)5 |
rk(h) |
1 |
1/2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
1/3 |
1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
3 |
3/8 |
1 |
3 |
3 |
1 |
|
|
|
4 |
2/45 |
7 |
32 |
12 |
32 |
7 |
|
|
5 |
5/288 |
19 |
75 |
50 |
50 |
75 |
19 |
|
6 |
1/140 |
41 |
216 |
27 |
272 |
27 |
216 |
|
7 |
7/17280 |
751 |
3577 |
1323 |
2989 |
2989 |
1323 |
|
8 |
4/14175 |
989 |
5888 |
-928 |
10496 |
-4540 |
10496 |
|
9 |
9/89600 |
2857 |
15741 |
1080 |
19344 |
5778 |
5778 |
|
10 |
5/299376 |
16067 |
106300 |
-48525 |
272400 |
-260550 |
427368 |
|
д) формула Гаусса:
(3.13)
где
Значения берутся из таблицы 3.2:
Таблица 3.2 Узлов и весов квадратурной формулы Гаусса
n |
i |
ti |
Ci |
1 |
1 |
t1=0 |
C1=2 |
2 |
1,2 |
t1,2=0,577350 |
C1=C2=1 |
3 |
1,3 2 |
t1,3=0,774597 t2=0 |
C1=C3=5/9=0,555556 C2=8/9=0,888889 |
4 |
1,4 2,3 |
t1,4=0,861136 t2,3=0,339981 |
C1=C4=0,347855 C2=C3=0,652145 |
5 |
1.5 2,4 3 |
t1,5=0,906180 t2,4=0,538469 t3=0 |
C1=C5=0,236927 C2=C4=0,478629 C3=0,568889 |