- •Севастополь
- •Содержание
- •Введение
- •1. Лабораторная работа №1 «Исследование погрешностей результата вычислений при решении задач вычислительной математики»
- •1.1. Цель работы
- •1.2. Основные понятия элементарной теории погрешностей
- •1.3. Образцы выполнения заданий
- •1.4. Порядок выполнения работы
- •1.5. Контрольные вопросы
- •2. Лабораторная работа №2 «Приближение функций»
- •2.1. Цель работы
- •2.2. Основные теоретические положения и расчетные формулы
- •2.3. Порядок выполнения работы
- •2.4. Содержание отчета о выполнении работы
- •2.5. Контрольные вопросы
- •3. Лабораторная работа №3 «Численное дифференцирование и интегрирование»
- •3.1. Цель работы
- •3.2. Основные теоретические положения и расчетные формулы
- •3.3. Примеры решения типовых задач
- •3.4. Порядок выполнения лабораторной работы
- •3.5. Содержание отчета о выполнении работы
- •3.6. Контрольные вопросы
- •4. Лабораторная работа №4 «Численное решение нелинейных уравнений»
- •4.1. Цель работы
- •4.2. Краткое теоретическое введение
- •4.2.1. Метод половинного деления (бисекции)
- •4.2.2. Метод последовательных приближений (метод простой итерации)
- •4.2.3. Метод Ньютона – Рафсона
- •4.2.3.1. Описание классического метода Ньютона - Рафсона
- •4.2.3.2. Модификации метода Ньютона
- •4.2.4. Обусловленность задачи вычисления корня
- •4.3. Порядок выполнения работы
- •4.4. Содержание отчета о выполнении работы
- •4.5. Контрольные вопросы
- •5. Лабораторная работа №5 «Численное решение дифференциальных уравнений»
- •5.1. Цель работы
- •5.2. Краткие теоретические сведения
- •1) Метод степенных рядов.
- •5.3. Пример решения типовой задачи
- •5.4. Порядок выполнения работы
- •5.5. Контрольные вопросы
- •Приложения
- •Приложение в Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторных работ
- •В2. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №2 «Приближение функций»
- •В3. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №3 «Численное дифференцирование и интегрирование »
- •В4. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №4 «Численное решение нелинейных уравнений»
- •В5. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №4 «Численное решение дифференциальных уравнений»
Введение
Целью лабораторного практикума по дисциплине «Информатика и системология» является освоение студентами основ вычислительных методов, применяемых для решения инженерных задач, овладение навыками реализации вычислительных алгоритмов на ЭВМ и оценки достоверности полученных результатов.
В настоящих методических указаниях представлены основные теоретические положения по следующим разделам:
-
«Исследование погрешностей результатов вычислений при решении задач вычислительной математики»,
-
«Приближение функций»,
-
«Численное дифференцирование и интегрирование функций»,
-
«Численное решение дифференциальных уравнений»,
а также варианты заданий к выполнению соответствующих лабораторных работ.
Каждый раздел построен по стандартной схеме, включающей формулировку цели выполнения лабораторной работы, описание базовых теоретических сведений, примеры решения типовых задач, ссылки на варианты индивидуальных заданий и список контрольных вопросов.
Номер варианта индивидуального задания для выполнения лабораторной работы выбирается как остаток от деления по модулю номера в списке группы на максимальный номер варианта в таблице вариантов заданий для соответствующей лабораторной работы.
По результатам выполненной работы оформляется отчет, включающий в себя следующие разделы:
-
цель работы;
-
постановка задачи;
-
обоснование выбора метода решения поставленной задачи;
-
вычислительные алгоритмы;
-
тексты программ (программы могут быть написаны на любом языке программирования в любой операционной среде, не возбраняется использование любых пакетов прикладных программ и специализированных сред);
-
основные результаты решения поставленной задачи;
-
выводы о проделанной работе.
При выполнении домашних заданий и подготовке к выполнению лабораторных работ рекомендуется использовать учебную и справочную литературу [19]. В приложении А приведен пример оформления титульного листа отчёта о выполнении лабораторной работы. В приложение В содержит варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторных работ.
Отчёт о выполнении работы должен быть выполнен аккуратно, содержать все необходимые пояснения и промежуточные результаты. В разделе «Выводы» должен быть проведён анализ полученных результатов и сформулированы соответствующие рекомендации, если это следует из постановки задачи.
1. Лабораторная работа №1 «Исследование погрешностей результата вычислений при решении задач вычислительной математики»
1.1. Цель работы
Овладение студентами навыками вычисления предельных абсолютной и относительной погрешностей результата вычислений и применения правил округления приближенных чисел в узком и широком смысле.
1.2. Основные понятия элементарной теории погрешностей
Теория погрешностей вычислений раздел вычислительной математики, изучающий причины возникновения и способы оценки всевозможных погрешностей решения задач на ЭВМ.
Мерой точности вычислений могут служить либо предельные абсолютные погрешности , представляющие собой разность между истинным значением величины х и ее приближенным значением :
(1.1)
либо предельная относительная погрешность:
(1.2)
Формулы точного подсчета погрешностей имеют вид:
где m рациональное число.
Здесь Δ абсолютная погрешность приближенного числа; относительная погрешность приближенного числа.
Абсолютные и относительные погрешности для приближенных вещественных чисел тесно связаны с важным понятием верных значащих цифр.
Если абсолютная погрешность числа x (Δх) не превышает половины единицы разряда последней цифры в записи числа x, то говорят, что у числа x все знаки верны. Приближенные числа следует записывать, сохраняя их и отмечая только верные знаки. При подсчете значащих цифр не считаются нули слева.
Например, 0,00139 имеет три верных значащих цифры.
Если число х в десятичном представлении имеет, по крайней мере, t верных значащих цифр, то его относительная погрешность Δх 10-t.
Если десятичное число х имеет не более р верных значащих цифр, то его относительная погрешность Δх >10-p.
Наоборот, у числа х с относительной погрешностью Δх Δ+х верны не более р значащих цифр, где р наибольшее целое, удовлетворяющее неравенству Δ+х 10-p+1.
Если х имеет относительную погрешность Δ(х)Δ(х), то х имеет не менее q десятичных значащих цифр, где q наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству Δ(х)<10-q.
Таким образом, если имеется множество чисел xk, с относительной погрешностью Δ(х)max к максимальному значению , то все числа группы могут быть записаны с помощью не более чем r+1 десятичных разрядов, где r наибольшее целое число, для которого 10-r Δ(х)max.