- •Севастополь
- •Содержание
- •Введение
- •1. Лабораторная работа №1 «Исследование погрешностей результата вычислений при решении задач вычислительной математики»
- •1.1. Цель работы
- •1.2. Основные понятия элементарной теории погрешностей
- •1.3. Образцы выполнения заданий
- •1.4. Порядок выполнения работы
- •1.5. Контрольные вопросы
- •2. Лабораторная работа №2 «Приближение функций»
- •2.1. Цель работы
- •2.2. Основные теоретические положения и расчетные формулы
- •2.3. Порядок выполнения работы
- •2.4. Содержание отчета о выполнении работы
- •2.5. Контрольные вопросы
- •3. Лабораторная работа №3 «Численное дифференцирование и интегрирование»
- •3.1. Цель работы
- •3.2. Основные теоретические положения и расчетные формулы
- •3.3. Примеры решения типовых задач
- •3.4. Порядок выполнения лабораторной работы
- •3.5. Содержание отчета о выполнении работы
- •3.6. Контрольные вопросы
- •4. Лабораторная работа №4 «Численное решение нелинейных уравнений»
- •4.1. Цель работы
- •4.2. Краткое теоретическое введение
- •4.2.1. Метод половинного деления (бисекции)
- •4.2.2. Метод последовательных приближений (метод простой итерации)
- •4.2.3. Метод Ньютона – Рафсона
- •4.2.3.1. Описание классического метода Ньютона - Рафсона
- •4.2.3.2. Модификации метода Ньютона
- •4.2.4. Обусловленность задачи вычисления корня
- •4.3. Порядок выполнения работы
- •4.4. Содержание отчета о выполнении работы
- •4.5. Контрольные вопросы
- •5. Лабораторная работа №5 «Численное решение дифференциальных уравнений»
- •5.1. Цель работы
- •5.2. Краткие теоретические сведения
- •1) Метод степенных рядов.
- •5.3. Пример решения типовой задачи
- •5.4. Порядок выполнения работы
- •5.5. Контрольные вопросы
- •Приложения
- •Приложение в Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторных работ
- •В2. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №2 «Приближение функций»
- •В3. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №3 «Численное дифференцирование и интегрирование »
- •В4. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №4 «Численное решение нелинейных уравнений»
- •В5. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №4 «Численное решение дифференциальных уравнений»
1.4. Порядок выполнения работы
1. Изучить разделы 1.2, 1.3 настоящих указаний.
2. Для варианта, выбранного из таблиц B1.1 и B.2 (Приложение В), выполнить задания 1 и 2.
3. Составить отчет о выполнении работы.
1.5. Контрольные вопросы
-
Что такое погрешность?
-
Каковы основные источники возникновения погрешностей?
-
Дайте определения абсолютной и относительной погрешности.
-
Что такое верная и значащая цифра в записи приближенного числа? Всегда ли верная цифра в числе совпадает со значащей цифрой?
-
Дайте определение верной цифры в широком (узком) смысле слова.
-
Как учитываются погрешности исходных данных при вычислении арифметических выражений?
-
Каковы основные правила округления результата вычислений, если погрешности операндов явно не заданы?
2. Лабораторная работа №2 «Приближение функций»
2.1. Цель работы
Целью данной лабораторной работы является изучение и практическое применение методов приближения функций.
2.2. Основные теоретические положения и расчетные формулы
Задача интерполирования функций состоит в приближенной замене функции f(x) более простой интерполирующей функцией F(x), значения которой в узлах интерполирования xj (j=1, 2, …n) совпадают с соответствующими значениями f(x), т.е. справедливо равенство
f(xj)=F(xj). (2.1)
На практике чаще всего интерполируют функции f(x), заданные таблично, в точках xj (j=1, 2, …n), если необходимо узнать f(x) при x≠xj.
Обычно F(x) отыскивают в виде обобщенного многочлена
, (2.2)
где линейно-независимая система функций,
а ci действительные коэффициенты, определяемые из линейной алгебраической системы:
(2.3)
Пусть .
Тогда ci определяется единственным образом и F(x) совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа:
(2.4)
При вычислении коэффициентов Лагранжа разности удобно расположить следующим образом:
-
x-x0
x0-x1
x0-x2
...
x0-xn
x1-x0
x-x1
x1-x2
...
x1-xn
x2-x0
x2-x1
x-x2
...
x2-xn
...
...
...
...
...
xn-x0
xn-x1
xn-x2
...
x-xn
Если обозначить произведение элементов соответствующих строк через , а произведение элементов главной диагонали через , то формула (2.4) будет иметь вид:
(2.5)
В случае равноотстоящих узлов интерполяционная формула Лагранжа имеет вид:
(2.6) где
.
Для оценки погрешности интерполяционной формулы Лагранжа можно использовать следующее соотношение:
, (2.7)
где ,
[a,b] интервал интерполирования.
Существенным недостатком интерполяции по Лагранжу является тот факт, что при известном значении многочлена Pn(x), построенного по значениям yi (i=1, 2, …, n) в точках xi введение нового (n+1)-го узла требует проведения всех вычислений заново.
Этим недостатком не обладает многочлен интерполирования Ньютона.
Интерполяционная формула Ньютона (2.8)для неравноотстоящих значений аргумента:
,
где разделенные разности m-того порядка.
Отношение называются разделенными разностями 1-го порядка.
Отношение разделенными разностями 2-го порядка.
Разделенные разности m-го порядка имеют вид:
(2.9)
Для равноотстоящих узлов разделенные разности m-того порядка вычисляются по формуле:
(2.10)
где шаг интерполирования, .
В точке x≠xi погрешность интерполяции:
f(x) Pn(x)≈ A(x0, x1, …, xn)×(xx0)×(xx1)×…(xxn).
Pn+1(x) – Pn(x)= A(x0, x1,…,xn+1)×ωn+1(x),
где ωn+1(x)=(xx0)×(xx1)×…(xxn).
Если функция f(x) достаточно гладкая и величина |xn+1–xn| мала, то справедливо:
A(x0, x1, …, xn) ≈A(x0, x1, …, xn+1)
и тогда:
f(x) Pn(x) ≈ Pn+1(x) Pn(x) и
Δинт многочлена Ньютона=| Pn+1(x) – Pn(x) |. (2.11)