- •Передмова
- •Рекомендована література
- •Розділ 1. Матриці і системи лінійних алгебраїчних рівнянь (слар)
- •1.1. Матриці, визначники та їх властивості
- •1.2. Види матриць. Лінійні дії над матрицями
- •1.3. Множення матриць. Обернена матриця
- •1.4. Система п лінійних алгебраїчних рівнянь з п невідомими. Матричний спосіб розв’язання систем
- •1.5. Метод Гаусса розв’язання слар
- •Розділ 2. Вектори
- •2.1. Поняття вектора. Лінійні дії над векторами
- •Лінійні дії над векторами
- •2.2. Проекція вектора на вісь
- •2.3. Декартові координати
- •2.4. Приклади геометричних застосувань декартових координат
- •2.5. Скалярний добуток векторів
- •2.6. Геометричні застосування скалярного добутку
- •2.7. Векторний добуток векторів
- •2.8. Мішаний добуток трьох векторів
2.2. Проекція вектора на вісь
Н
Рис. 2. 4.
Означення. Проекцією вектора на вісь називається довжина відрізка , взята з додатним знаком, якщо напрями вектора і осі однакові, і з від’ємним знаком, якщо напрями вектора і осі протилежні. Проекція вектора на вісь позначається або . Таким чином
=
Аналогічним чином визначається і проекція одного вектора на другий; в цьому разі перпендикуляри проводяться до прямої, на якій лежить цей другий вектор, а її напрямом вважається напрям цього вектора.
Відзначимо основні властивості проекцій.
1) При паралельному переносі вектора його проекція не змінюється (рис. 2.4).
2) Проекція = 0 тоді і тільки тоді, коли .
3) На рис. 2.4 з бачимо, що
. (2.1)
Рис.
2.5
4) Проекція суми векторів дорівнює сумі їх проекцій (рис. 2.5):
. (2.2)
5) Числовий множник можна винести за знак проекції:
. (2.3)
Це випливає, наприклад, з формули (2.1).
2.3. Декартові координати
З довільної точки простору О проведем три попарно перпендикулярні осі з однаковим масштабом. Точка О називається початком координат, a oci, які проходять через початок координат, називаються осями координат. Перша з них позначається Ох i називається віссю абсцис, друга вісь — Оу i називається вiccю ординат i третя — Оz — називається вiccю аплікат.Така система координат називається прямокутною або декартовою.
Площини, які проходять через oci координат, називаються координатними площинами. Вони поділяють пpocтip на вісім октантів.
Декартовими координатами вектора у прямокутній системі координат називаються його проекції на координатні осі.
Нехай М – будь-яка точка простору. Розглянемо вектор – радіус-вектор цієї точки.
Координати радіус-вектора точки М, тобто числа , називаються декартовими координатами точки М, відповідно абсцисою, ординатою і аплікатою цієї точки, що записується
Рис. 2. 6 так: М.
Таким чином встановлюється взаємно однозначна відповідність між точками простору і упорядкованими трійками чисел – координат цих точок. Ця відповідність дає змогу розв’язувати геометричні задачі алгебраїчними методами, шляхом дій над координатами точок, що є предметом аналітичної геометрії.
Позначимо через вектори одиничної довжини, напрями яких співпадають з напрямами координатних осей (див. рис. 2.6). Ці вектори називаються базисними, а їх сукупність – базисом. Для кожного вектора має місце рівність
, (2.4)
де - координати вектора . Формула (2.4) називається розкладанням вектора по базису.
Треба зауважити, що взаємне розташування базисних векторів може бути двох типів. Якщо, дивлячись з кінця третього вектора, ми бачимо поворот від першого до другого проти годинникової стрілки, то кажуть, що вектори утворюють праву трійку (рис. 2.7 а), в противному разі ця трійка називається лівою (рис. 2.7 б). Відповідні системи координат також називають правою та лівою.
Рис. 2. 7
Така назва пов’язана з тим, що вектори правої трійки взаємно розташовані подібно до перших трьох пальців правої руки, а вектори лівої трійки – подібно до перших трьох пальців лівої. Надалі домовимося, як це робиться здебільшого в математичній літературі, користуватися правою системою координат.