- •Передмова
- •Рекомендована література
- •Розділ 1. Матриці і системи лінійних алгебраїчних рівнянь (слар)
- •1.1. Матриці, визначники та їх властивості
- •1.2. Види матриць. Лінійні дії над матрицями
- •1.3. Множення матриць. Обернена матриця
- •1.4. Система п лінійних алгебраїчних рівнянь з п невідомими. Матричний спосіб розв’язання систем
- •1.5. Метод Гаусса розв’язання слар
- •Розділ 2. Вектори
- •2.1. Поняття вектора. Лінійні дії над векторами
- •Лінійні дії над векторами
- •2.2. Проекція вектора на вісь
- •2.3. Декартові координати
- •2.4. Приклади геометричних застосувань декартових координат
- •2.5. Скалярний добуток векторів
- •2.6. Геометричні застосування скалярного добутку
- •2.7. Векторний добуток векторів
- •2.8. Мішаний добуток трьох векторів
1.3. Множення матриць. Обернена матриця
Означення. Добутком матриці А на матрицю В називається матриця , у якій елемент дорівнює сумі добутків елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи k-го стовпця матриці В.
Якщо де і де , то добуток де
(1.7)
Для існування добутку необхідно, щоб розміри множників були узгоджені: число стовпців першого множника А повинно дорівнювати числу рядків другого множника В.
Приклади. 1. Знайти добуток матриці на матрицю .
.
Зазначимо, що тут добуток не існує через неузгодженість розмірів.
2. Знайти добутки і , якщо , .
.
.
Бачимо, що в даному випадку .
Властивості множення матриць.
1. В загальному випадку , як це видно із наведених прикладів. Якщо ж , то матриці А і В називають переставними (комутативними).
2. (λА)·В=А·(λВ)=λ(А·В) – асоціативність відносно множення на число.
3. і – дистрибутивність відносно додавання.
4. асоціативність множення матриць.
5. – одинична матриця відіграє роль одиниці при множенні на будь-яку матрицю А.
6. для будь-якої матриці А.
7. .
8. Для квадратних матриць .
Означення. Матриця називається оберненою до матриці А, якщо , де Е – одинична матриця.
Означення. Квадратна матриця А називається невиродженою, якщо , і виродженою, якщо .
Теорема. Для того, щоб дана матриця А мала обернену, необхідно і достатньо, щоб вона була невиродженою.
Необхідність. Нехай для матриці А існує обернена . Тоді , а значить за властивістю 8:
,
отже і , при чому , і матриця А є невиродженою.
Достатність. Доводиться безпосередньо побудовою оберненої матриці. Процес побудови проілюструємо на прикладі квадратної матриці А третього порядку, але алгоритм залишається в силі для матриці будь-якого порядку.
Алгоритм побудови оберненої матриці.
Нехай .
Для побудови оберненої матриці потрібно:
1. Знайти визначник . Якщо він не дорівнює нулю, то матриця А невироджена і має обернену.
2. В матриці А замінити кожний елемент його алгебраїчним доповненням . Одержимо матрицю
.
3. Транспонувати матрицю :
.
4. Кожний елемент отриманої матриці розділити на визначник даної матриці А, внаслідок чого й одержимо обернену матрицю :
. (1.8)
Доведемо, що це справді так. Множимо за формулою (1.7):
тому що
(формула (1.6)). Аналогічно перевіряється рівність .
Приклад. Знайти матрицю, обернену до матриці
.
-
Знаходимо .
-
Обчислюємо алгебраїчні доповнення:
3. Транспонуємо матрицю з алгебраїчних доповнень:
.
4. Знаходимо обернену матрицю:
.
Зробимо перевірку:
.
1.4. Система п лінійних алгебраїчних рівнянь з п невідомими. Матричний спосіб розв’язання систем
Нехай задано систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) з невідомими:
(1.9)
Означення. Система (1.9) називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має розв’язків.
Сумісність системи означає, що існує принаймні один набір чисел , який при підстановці в рівняння системи перетворює їх у вірні рівності.
Запишемо коефіцієнти при невідомих з кожного рівняння системи у відповідний рядок матриці:
. (1.10)
Цю матрицю називають основною матрицею системи (1.9). Розглянемо матричний запис і матричний спосіб розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
Нехай задано систему лінійних рівнянь з невідомими. Така система називається квадратною. В цьому випадку матриця системи є квадратною. Потрібні міркування проведемо на прикладі системи трьох рівнянь з трьома невідомими, але всі висновки залишаються вірними для будь-якого . Отже розглянемо систему
(1.11)
Запровадимо позначення:
; ; . (1.12)
Тоді, використовуючи правило множення матриць (1.7), систему (1.11) можна записати в еквівалентній матричній формі:
(1.13)
де А –матриця системи, В – задана матриця -стовпець, Х – невідома матриця -стовпець. Розв’язком рівняння (1.13) є такий вектор-стовпець Х, який обертає рівняння (1.13) у вірну рівність.
Якщо , то існує обернена до А матриця . Помножимо рівняння (1.13) почленно зліва на і скористаємося властивостями множення матриць:
.
Отже розв’язок рівняння (1.13) дається формулою
. (1.14)
Ця формула особливо зручна, коли потрібно розв’язувати системи з однією і тією ж матрицею А і різними стовпцями правих частин B.
Таким чином, якщо матриця квадратної СЛАР невироджена, система має єдиний розв’язок.
Приклад. Розв’язати систему
Тут
Матрицю, обернену до матриці А, було обчислено в попередньому пункті:
.
Тоді за формулою (1.14)
.
Відповідь: х=2,5; у=1,5;