- •Розділ 3. Аналітична геометрія
- •3.1. Рівняння лінії на площині
- •3.2. Рівняння поверхні у декартових координатах. Рівняння лінії в просторі
- •3.3. Площина як алгебраїчна поверхня першого порядку. Різні форми рівняння площини
- •3.4. Кут між двома площинами. Відстань від точки до площини
- •2. Відстань від точки до площини.
- •3.5. Пряма в просторі. Способи завдання прямої
- •3.6. Кут між двома прямими. Кут між прямою і площиною
- •3.7. Точка перетину прямої і площини
- •3.8. Пряма на площині як алгебраїчна лінія першого порядку. Різні форми рівняння прямої на площині
- •3.9. Кут між двома прямими
- •3.10. Алгебраїчні лінії другого порядку
- •Відношення
- •Гіпербола.
- •Парабола.
- •3.11. Канонічні рівняння алгебраїчних поверхонь другого порядку
- •4. Конус другого порядку.
- •5. Еліптичний параболоїд.
- •6. Гіперболічний параболоїд.
- •7. Циліндричні поверхні. Циліндри другого порядку.
- •3.12. Лінійчаті поверхні і поверхні обертання
-
Парабола.
Означення. Параболою називається множина всіх точок площини, відстань яких від даної точки (фокуса) дорівнює відстані від даної прямої (директриси), що не проходить через фокус і лежить у тій же площині.
Нехай точка F– фокус, а пряма (l) – директриса параболи (рис. 3.18). Відстань FN від фокуса до директриси позначимо р. Величину р називають фокальним параметром параболи.
Рис.
3. 18
.
Піднесемо обидві частини до квадрата:
х2 – рх + + у2 = х2 + рх + ,
звідки
у2 = 2рх. (3.57)
Це і є канонічним рівнянням параболи.
Виходячи з цього рівняння, розглянемо основні властивості параболи.
-
Парабола – алгебраїчна лінія другого порядку.
-
Оскільки координата у входить у рівняння (3.57) у парному степені, парабола симетрична відносно осі Ох, яку називають віссю параболи.
-
Розв’язуючи рівняння (3.57) відносно у:
у = ,
робимо висновок, що парабола визначена тільки для х ≥ 0 (параметр р вважається додатним), тобто лежить у правій півплощині. Рівняння частини параболи, розташованої у першому квадранті має вигляд у = . Якщо значення х зростають від 0 до +∞, то відповідні значення у зростають від 0 до +∞, і парабола, відхиляючись від осі Ох, простягається у нескінченність, тобто є необмеженою лінією.
-
Парабола проходить через початок координат О( 0; 0), перетинаючи вісь абсцис і дотикаючись до осі ординат. Ця точка називається вершиною параболи.
-
Ексцентриситет параболи, як відношення відстані її точки від фокуса до відстані від директриси, дорівнює 1.
Зауваження. Рівняння у2 = –2рх також є канонічним рівнянням параболи. Легко встановити, що воно визначає параболу з віссю симетрії Ох, розташовану в лівій півплощині (х ≤ 0) (рис. 3.19, а). Рівняння х2 = 2ру і х2 = –2ру визначає параболи з віссю симетрії Оу. Кожна з них дотикається до осі Ох в точці О( 0; 0), але перша лежить у верхній півплощині (у ≥ 0) (рис. 3.19, в), а друга в нижній (у ≤ 0) (рис. 3.19, б).
Рис. 3. 19
Рівняння
,
так само як і
, , ,
визначає параболу, вершина якої міститься в точці .
Приклад. Звести до канонічного вигляду рівняння кривої і встановити її тип:
а) 2х2 + 3у2 – 4х + 6у – 7 = 0;
б) 2х2 – 3у2 + 8х + 18у – 37 = 0;
в) 4х2 + 12х + 3у – 3 = 0.
Розв’язання. а) Сгрупуємо однойменні змінні та доповнимо вирази в дужках до повних квадратів:
,
,
,
,
.
Ми отримали рівняння еліпса, центр якого міститься в точці О(1;-1), а півосі дорівнюють: a = ; b =2.
б) Як у попередньому прикладі, доповнюємо до повних квадратів:
,
,
,
,
.
Це рівняння гіперболи, центр якої міститься в точці , а півосі дорівнюють: a = 3; b =.
в) Доповнюємо до повного квадрата:
,
,
,
;
.
Це –рівняння параболи, вершина якої міститься в точці , вісь симетрії паралельна осі Оу, а вітки напрямлені вниз (як на рис. 3.19 б)).